Расчет двутавра на изгиб: Расчёт металлической балки онлайн (калькулятор)

Расчет металлической балки перекрытия на прогиб и на жесткость

Металлические балки двутавровые

Кроме повсеместно ведущегося строительства многоэтажных зданий с большим числом квартир, широкое распространение получило сооружение частных домов, причем не только небольших одноэтажных, но и довольно крупных, с двумя и более этажами, иногда и с мансардой наверху или обитаемым чердаком. Для таких домов уже не подходит каркасный метод; материалом часто служит, вместо дерева, кирпич или железобетон. Возведение крупных частных домов должно вестись по всем правилам строительной науки, так как ошибки при проектировании или воплощении проекта могут привести к нежелательным последствиям.

Если строящийся дом представляет собой капитальное здание – из бетона, кирпича, шлакоблока, то для потолочных перекрытий, межэтажных и чердачных, целесообразно применить железобетонные плиты. Наиболее подходящий тип каркаса, способный выдержать вес таких перекрытий, – это каркас, элементом которого является металлическая балка двутаврового профиля.

Именно этот вид проката, установленный своей стенкой вертикально, обладает наибольшей несущей способностью. Естественно, фундамент и стены дома при этом должны быть достаточной прочности, чтобы выдерживать дополнительный вес от 0,5 до 1 тонны – столько металла, в зависимости от количества балок и номера профиля может понадобиться для потолочного перекрытия.

Чтобы избежать лишних затрат и лишнего веса каркаса потолка, а также не допустить обрушения или значительного прогиба балок, необходимо заранее рассчитать их параметры и по результатам расчета подобрать нужный прокат. Расчет сводится к вычислению следующих величин: требуемого момента сопротивления и минимального момента инерции сечения балки, а исходя из последнего – максимального относительного прогиба.

Примечание Расчет ведется по двум характеристикам – на прочность и на жесткость. По полученным значениям момента сопротивления и момента инерции в таблицах ГОСТ находят требуемый номер проката.

Исходные данные для расчетов

Для каркаса потолочных перекрытий малогабаритных частных домов обычно используется двутавр 10 – 20 номеров. Характеристики этих профилей приводятся в ГОСТ 8239-72 – их линейные размеры, площади сечения, максимальные моменты сопротивления по вертикали Wy и минимальные моменты инерции Jy.

Необходимо знать тип плит, которые будут опираться на балочный каркас, а также размеры несущего периметра дома. Можно применить пустотные железобетонные плиты ПК-12-10-8 (1180 х 990 мм, масса 380 кг), а размеры дома взять 4,5 х 6 м. Балки укладываются вдоль короткой стены; шаг укладки при таком размере плит равен 1000 мм (стыки плит совпадают с продольными осями балок, при минимальном зазоре 1 см). Это потребуется для расчета распределенной нагрузки, и исходя из нее – линейной нагрузки на балку, вес самой балки по сравнению с распределенной нагрузкой мал, и при вычислении линейной нагрузки им можно пренебречь.

Распределенная нагрузка при таком типе плит будет равна 325 кгс / м2. К этому надо добавить нагрузку возможных перегородок на верхней стороне перекрытия (75 кгс / м2) и возможную временную нагрузку (200 кгс / м2). В итоге нагрузка, распределенная по площади:

Q = 325 + 75 + 200 = 600 кгс / м2,

а линейная нагрузка

q = Q * p = 600 кгс / м = 6 кгс / см.

Эта величина используется в дальнейших расчетах.

Как подобрать форму сечения двутавровой балки, в зависимости от назначения?

Горячекатаный металлопрокат с параллельными внутренними полками граней бывает следующих групп, согласно ГОСТу 26020-83:

• «Б» – нормальная. Диапазон номеров – 10-60. Толщина стенки составляет до 1/58 ее высоты. Металлопродукция применяется при монтаже перекрытий путепроводов, возведении мостов и эстакад.

• «Ш» – широкополочная. Подразделяется на разрезную и неразрезную продукцию. Разрезные изделия, позволяющие получать две тавровые балки, применяют для укладки на один пролет, неразрезные – на один или несколько. Производство таких металлоизделий требует увеличенного (на 10-12%) расхода металла, что можно считать минусом. Плюсы: возможность установки в качестве самостоятельного элемента без дополнительных деталей, что существенно сокращает скорость проведения работ.

• «К» – колонная. Особенность сечения этого вида двутавра – увеличенная толщина полок. Продукция выполняет функции несущих элементов строений, применяется для устройства больших пролетов, способна выдерживать значительные крановые нагрузки. В сортаменте это самые тяжелые и износостойкие профили.

Расчет на прогиб

Изгибающий момент для каждой балки вычисляется, исходя из величины линейной нагрузки q, шага укладки балок p и длины перекрываемого пролета L. Так как балки укладываются вдоль короткой стороны, то L = 4,5 м = 450 см (конечно, сами балки длиннее – около 5 м, так как опираются на стены, но шарнирными опорами для них служат именно внутренние края стен).

Искомая величина момента, в таком случае:

My = (q * L2) / 8 = 6 * 4502 / 8 = 151875 кгс * см.

Максимальный момент сопротивления сечения балки можно рассчитать, разделив изгибающий момент на расчетное сопротивление стали – например, марки С235, равное 2150 кгс / см2:

Wy = 151875 / 2150 = 70,6 см3.

Это полученное значение надо сравнить с величиной момента сопротивления сечения двутавровой балки. Из таблицы ГОСТ 8239-72 видно, что вычисленный показатель примерно соответствует (с запасом) моменту сопротивления для профиля 14 (81,7 см3). Следовательно, этот номер проката будет удовлетворять требованиям к прочности балок.

Выбор сечения двутавра – другие виды изделий

Подбор сечения профиля для специального горячекатаного профиля будет отличаться. Во многом это определяется уклоном внутренних граней полок. ГОСТ 19425-74 еще ГОСТом Р 57837-2017 заменить гениальная мысль не пришла в головы (шутка). Если кратко, то существует два основных вида специальной двутавровой балки. Первый – М (подвесная, монорельсовая). Соотношение основания двутавра к ширине полок примерно 2/1 или 3/1. С – для армирования стволов шахт. Сечение отличается значительным уклоном внутренних граней полок.

Обращайте внимание что все еще есть на рынке и двутавровая балка У. Буква указывает на то что это узкополочный прокат. Характерная черта сечения – узкие полки.

И последний тип горячекатаного двутавра – Д. Это обозначает дополнительный. По ГОСТ Р 57837-2017 маркируется как ДК и ДБ. Изготавливается по требованиям заказчика. Какое нужно сечение, такое и сделают под заказ. Особенно актуально когда стоит сложная, нетривиальная инженерная задача при проектировании уникальных металлоконструкций. Среди характерных черт сечения – ширина полки. Она меньше чем ширина полки у широкополочного двутавра. Но при этом ширина полки двутавра Д меньше чем ширина полки у двутавра нормального типа. Хотя бывают и исключения.

Подводя итог скажем так. Подбор сечения двутавра определяется сложными расчетами. Форма профиля зависит от основных параметров проката и определяет его тип. Иногда характеристики типа определяют вид сечения. С особой тщательностью надо выполнять выбор сечения двутавра для нагруженных конструкций. Остались вопросы? Требуется двутавровая балка? Обращайтесь!

Расчет на жесткость

Жесткость балок характеризуется максимальной величиной прогиба при заданных исходных параметрах. В случае распределенной нагрузки прогиб вычисляется по формуле:

f = 5 * q * L4 / (384 * E * Jy), где

• q – линейная нагрузка на балку;
• L – длина пролета;
• E – модуль упругости материала, для стали С235 равный 2,1 * 106 кгс / см2;
• Jy – минимальный момент инерции для данного профиля.

Для принятых ранее исходных данных, с учетом того, что из расчета на прочность наиболее подходящим профилем оказался № 14, для которого Jy, по табличным значениям ГОСТ, равен 572 см4, можно получить:

f = 2,6 см,

а в относительной мере, с учетом того, что длина пролета 450 см – 1 / 172. Это превышает максимально допустимый прогиб, принятый равным 1 / 250.

Поэтому расчет приходится повторить и вычислить прогиб для другого номера проката. Для № 16, у которого момент инерции равен 873 см4, абсолютный прогиб получается 1,74 см, а относительный – 1 / 256, что является приемлемым.

Требования

Все требования, предъявляемые к балкам из металла, четко обозначены в ГОСТах и СНиПах. Основными требованиями являются:

• Прочность. В зависимости от типа материала, используемого при изготовлении изделия, показатели прочности могут отличаться, но они должны соответствовать значениям, указанным в нормативных документах.
• Период эксплуатации. Металлические конструкции, согласно ГОСТ, должны прослужить минимум 80 лет.
• Устойчивость к коррозии. Готовые элементы должны быть дополнительно обработаны составами, предотвращающими образование коррозии.

Итоги расчета

Итак, для помещения размером 4,5 х 6 м каркас потолочного перекрытия из железобетонных плит ПК-12-10-8 с распределенной нагрузкой 600 кгс / м2 может быть устроен из двутавровых балок профиля № 16 стали марки С235, расположенных вдоль короткой стороны с шагом 1 м. Можно рассчитать, что для такого здания понадобится 7 таких балок длиной по 5 м, и, зная массу и цену погонного метра, вычислить общую массу балочного каркаса и его стоимость.

Так, для приведенного примера общее количество погонных метров – 35; масса балочного каркаса из профиля № 16 – 525 кг.

Особенности процесса монтажа

Процедура устройства перекрытий с использованием металлических балок имеет определенные особенности, которые необходимо знать и четко соблюдать.

1. Обязательно наличие четкой схемы постройки с произведенными расчетами на прочность и изгиб изделий.

2. К боковым граням балок крепятся бруски сечением 60х60, после чего размещается накат из досок.
3. Накат накрывается слоем утеплителя, выполняющего функции звуко и теплоизоляции.
4. Шаг между стальными балками не должен превышать 150 см, оптимальное расстояние – 100 см.
5. Глубина опирания концов металлических конструкций на стены – максимум 25 см.
6. Чтобы добиться большей звукоизоляции можно использовать не обычные, а пружинные скобы.

Плюсы и минусы применения в зданиях

Конструкции из металла обладают рядом преимуществ, благодаря которым материал широко используется:

• повышенной прочностью;
• огнестойкостью;
• устойчивостью к внешним факторам;
• повышенной надежностью;
• большим периодом эксплуатации;
• возможностью усилить уже построенное здание;
• увеличенной несущей способностью.

Однако такие балки имеют и свои недостатки, которые также следует учитывать:

• сложность проведения строительных работ;
• необходимость задействовать тяжелую технику;
• металл может подвергаться коррозии;
• требуется производить сложные подсчеты, с чем у новичка могут возникнуть серьезные сложности.

Двутавры стальные горячекатаные с параллельными гранями полок по ГОСТ 26020-83

Наименование профиля двутавра	Высота (h), мм	Ширина полки (b), мм	Толщина стенки (s), мм	Средняя толщина полки (t), мм	Масса 1 м балки, кг	Метров балки в тонне
Нормальные двутавры
Балка 10Б1	100	55	4. 1	8.1	123.46
Балка 12Б1	117.6	64	3.8	8.7	114.94
Балка 12Б2	120	64	4.4	10.4	96.15
Балка 14Б1	137.4	73	3.8	10.5	95.24
Балка 14Б2	140	73	4.7	12.9	77.52
Балка 16Б1	157	82	4	12.7	78.74
Балка 16Б2	160	82	5	15.8	63.29
Балка 18Б1	177	91	4.3	15.4	64.94
Балка 18Б2	180	91	5.3	18.8	53.19
Балка 20Б1	200	100	5.6	22.4	44.64
Балка 23Б1	230	110	5.6	25.8	38.76
Балка 26Б1	258	120	5.8	28	35. 71
Балка 26Б2	261	120	6	31.2	32.05
Балка 30Б1	296	140	5.8	32.9	30.4
Балка 30Б2	299	140	6	36.6	27.32
Балка 35Б1	346	155	6.2	38.9	25.71
Балка 35Б2	349	155	6.5	43.3	23.09
Балка 40Б1	392	165	7	48.1	20.79
Балка 40Б2	396	165	7.5	54.7	18.28
Балка 45Б1	443	180	7.8	59.8	16.72
Балка 45Б2	447	180	8.4	67.5	14.81
Балка 50Б1	492	200	8.8	73	13.7
Балка 50Б2	496	200	9.2	80.7	12.39
Балка 55Б1	543	220	9. 5	89	11.24
Балка 55Б2	547	220	10	97.9	10.21
Балка 60Б1	593	230	10.5	106.2	9.42
Балка 60Б2	597	230	11	115.6	8.65
Балка 70Б1	691	260	12	129.3	7.73
Балка 70Б2	697	260	12.5	144.2	6.93
Балка 80Б1	791	280	13.5	159.5	6.27
Балка 80Б2	798	280	14	177.9	5.62
Балка 90Б1	893	300	15	194	5.15
Балка 90Б2	900	300	15.5	213.8	4.68
Балка 100Б1	990	320	16	230.6	4.34
Балка 100Б2	998	320	17	258. 2	3.87
Балка 100Б3	1006	320	18	285.7	3.5
Балка 100Б4	1013	320	19.5	314.5	3.18
Широкополочные двутавры
Балка 20Ш1	193	150	6	30.6	32.68
Балка 23Ш1	226	155	6.5	36.2	27.62
Балка 26Ш1	251	180	7	42.7	23.42
Балка 26Ш2	255	180	7.5	49.2	20.33
Балка 30Ш1	291	200	8	53.6	18.66
Балка 30Ш2	295	200	8.5	61	16.39
Балка 30Ш3	299	200	9	68.3	14.64
Балка 35Ш1	338	250	9.5	75.1	13.32
Балка 35Ш2	341	250	10	82. 2	12.17
Балка 35Ш3	345	250	10.5	91.3	10.95
Балка 40Ш1	388	300	9.5	96.1	10.41
Балка 40Ш2	392	300	11.5	111.1	9
Балка 40Ш3	396	300	12.5	123.4	8.1
Балка 50Ш1	484	300	11	114.4	8.74
Балка 50Ш2	489	300	14.5	138.7	7.21
Балка 50Ш3	495	300	15.5	156.4	6.39
Балка 50Ш4	501	300	16.5	174.1	5.74
Балка 60Ш1	580	320	12	142.1	7.04
Балка 60Ш2	587	320	16	176.9	5.65
Балка 60Ш3	596	320	18	205.5	4. 87
Балка 60Ш4	603	320	20	234.2	4.27
Балка 70Ш1	683	320	13.5	169.9	5.89
Балка 70Ш2	691	320	15	197.6	5.06
Балка 70Ш3	700	320	18	235.4	4.25
Балка 70Ш4	708	320	20.5	268.1	3.73
Балка 70Ш5	718	320	23	305.9	3.27
Колонные двутавры
Балка 20К1	195	200	6.5	41.5	24.1
Балка 20К2	198	200	7	46.9	21.32
Балка 23К1	227	240	7	52.2	19.16
Балка 23К2	230	240	8	59.5	16.81
Балка 26K1	255	260	8	65. 2	15.34
Балка 26K2	258	260	9	73.2	13.66
Балка 26K3	262	260	10	83.1	12.03
Балка 30К1	296	300	9	84.8	11.79
Балка 30К2	304	300	10	96.3	10.38
Балка 30К3	300	300	11.5	108.9	9.18
Балка 35К1	343	350	10	109.7	9.12
Балка 35К2	348	350	11	125.9	7.94
Балка 35К3	353	350	13	144.5	6.92
Балка 40К1	393	400	11	138	7.25
Балка 40К2	400	400	13	165.6	6.04
Балка 40К3	409	400	16	202.3	4. 94
Балка 40К4	419	400	19	242.2	4.13
Балка 40К5	431	400	23	291.2	3.43
Двутавры дополнительной серии (Д)
Балка 24ДБ1	239	115	5.5	27.8	35.97
Балка 27ДБ1	269	125	6	31.9	31.35
Балка 36ДБ1	360	145	7.2	49.1	20.37
Балка 35ДБ1	349	127	5.8	33.6	29.76
Балка 40ДБ1	399	139	6.2	39.7	25.19
Балка 45ДБ1	450	152	7.4	52.6	19.01
Балка 45ДБ2	450	180	7.6	65	15.38
Балка 30ДШ1	300.6	201.9	9.4	72.7	13.76
Балка 40ДШ1	397. 6	302	11.5	124	8.06
Балка 50ДШ1	496.2	303.8	14.2	155	6.45

Если на двутавр существуют ГОСТ ы, то изготовление тавровой балки осуществляется по ТУ 14-2-685-86

Обозначение здесь такое же, как и у двутавровой балки.

Тавры колонные и Тавры ШТ по ТУ 14-2-685-86 имеют следующие размеры

Тавры ШТ по ТУ 14-2-685-86. Наименование профиля, вес.

Расчет балок на прочность.

Расчет по допускаемым напряжениям
на прочность при изгибе.

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от
расчетных нагрузок.

Р_р=Р_н×n

n
– коэффициент перегрузки.

– нормативная нагрузка.

Р_р
– расчетная нагрузка.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на
растяжение и сжатие, то прочность
проверяется по формулам:

где R_p
и R_сж
– расчетное
сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность
проверяется по максимальны напряжениям
в верхних и нижних волокнах балки. При
этом средние волокна оказываются
недогруженными.

Оказывается, если нагрузку
увеличивать дальше, то в крайних волокнах
напряжение дойдет до предела текучести
σ_т( в пластичных
материалах), и до предела прочности σ_nч( в хрупких материалах).
При дальнейшем увеличении нагрузки
хрупкие материалы разрушатся, а в
пластичных материалах напряжения в
крайних волокнах далее не возрастают,
а растут во внутренних волокнах. (см.
рис.)

Несущая способность балки
исчерпывается, когда по всему сечению
напряжения достигнут σ_т.

Для прямоугольного сечения:

Примечание: для прокатных
профилей (швеллер и двутавр) пластический
момент Wnл=(1. 1÷1,17)×W

Касательные
напряжения при изгибе балки прямоугольного
сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2
больше момента в сечении 1, то напряжение
σ₂>σ₁=>N₂>N_1.

В этом случае элемент abcd
должен переместиться влево. Этому
перемещению препятствуют касательные
напряжения τ
на площадке cd.

— уравнение равновесия,
после преобразования которого получается
формула для определения τ:

— Формула Журавского

Распределение
касательных напряжений в балках
прямоугольного, круглого и двутаврового
сечений.

1.
Прямоугольное сечение:

2.Круглое сечение.

3. Двутавровое сечение.

Главные напряжения при изгибе.
Проверка прочности балок.

[σ_сж]

Примечание: при расчете
по предельным состояниям вместо [σ_сж]
и [σ_р]
в формулы
ставятся
R_cж
и R_p
–
расчетные сопротивления материала при
сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то
проверяют точку Б:

где
R_срез
– расчетное
сопротивление материала на срез.

В точке D
на элемент действует нормальные и
касательные напряжения, поэтому в
некоторых случаях их совместное действие
вызывает опасность для прочности. В
этом случае элемент D
проверяют на прочность используя главные
напряжения.

В нашем случае: ,
следовательно:

Используя σ
₁и
σ₂
по теории прочности проверяют элемент
D.

По теории наибольших
касательных напряжений имеем: σ
₁ —
σ₂≤R

Примечание: точку D
следует брать по длине балки там, где
одновременно действуют большие M
и Q.

По высоте балки выбираем
такое место, где одновременно действуют
значения σ
и
τ.

Из эпюр
видно:

1. В балках прямоугольного
и круглого сечения отсутствуют точки,
в которых одновременно действуют большие
σ
и τ.
Поэтому в таких балках проверка точки
D
не делается.

2. В балках двутаврового
сечения на границе пересечения полки
со стенкой (т. А) одновременно действуют
большие σ
и τ.
Поэтому они проверяются на прочность
в этой точке.

Примечание:

1. В прокатных двутаврах и
   швеллерах в зоне пересечения полки со
   стенкой сделаны плавные переходы
   (закругления). Стенка и полка подобраны
   так, что точка A
   оказывается в благоприятных условиях
   работы и проверка прочности не требуется.

2. В составных (сварных)
   двутавровых балках проверка точки А
   необходима.

Простая гибка балки | Инженерная библиотека

На этой странице представлены разделы о простом изгибе балки из «Руководства по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Другие связанные главы из «Руководства по анализу стресса» ВВС можно увидеть справа.

1.

3.1 Простые балки на изгибе

Простые балки при упругом и пластическом изгибе рассматриваются в разделах 1.3.1.1 и 1.3.1.3 соответственно, а возможность поперечной неустойчивости глубоких балок при изгибе рассматривается в разделе 1.3.1.5.

1.3.1.1 Простые балки при упругом изгибе

В этом разделе рассматриваются простые балки при изгибе, для которых максимальное напряжение остается в области упругости.

Максимальное изгибающее напряжение в такой балке находится по формуле

$$ f_b = {Mc \над I} $$

(1-1)

в то время как сдвиговый поток определяется выражением

$$ q = { VQ \над I } $$

(1-2)

где \( Q = \int_{A_1} y~dA \). Использование этих уравнений показано в разделе 1.3.2.2.

Вертикальные и угловые перемещения простой балки при упругом изгибе задаются уравнениями (1-3) и (1-4) соответственно, где А и В — константы интегрирования.
92 + Ах + В $$

(1-3)

$$ \theta = {dy \over dx} = \int {M \over EI}~ dx + A $$

(1-4)

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

1.3.1.2 Пример задачи — простая балка при упругом изгибе

Дано : Консольная балка, показанная на рис. 1-1.

Найти : Максимальные напряжения изгиба и сдвига.

Решение : Из уравнений статики можно получить диаграммы сдвига и момента на рисунке 1-2.

Поскольку c и I постоянны вдоль балки, максимальное изгибающее напряжение возникает в точке максимального изгибающего момента; и из уравнения (1-1),
92 $$

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

1.

3.1.3 Простые балки при гибке пластика

В некоторых случаях допустима деформация балки при изгибе. Если материал балки можно считать упруго-идеально пластичным, изгибающий момент при разрушении определяется выражением

$$ M_{fp} = K ~M_y $$

(1-5)

где M _y — это момент, вызывающий начальную деформацию крайних волокон, а K — коэффициент формы, указанный в Таблице 1-1.

1.3.1.4 Пример задачи — простая балка при пластическом изгибе

Дано : Свободно опертая балка, показанная на рис. 1-4.

Найти : Нагрузка P, вызывающая полностью пластический изгиб.

Решение : Преобразование уравнения (1-1) и замена изгибающего напряжения пределом текучести дает

$$ M_y = { F_y ~I \over c } = { 55000 (0,666) \over 1,0 } = 36 600 ~\text{in/lb} $$

Вставка значения K из таблицы 1-1 в уравнение (1-5) дает

$$ M_{fp} = K ~M_y = 1,5 (36 600) = 54 900 ~\text{дюйм/фунт} $$

Из статики максимальный момент на перекладине 10П. Таким образом, при полностью пластическом изгибе

$$ P = {M_{fp} \over 10} = 5490 ~\text{фунт} $$

1.3.1.5 Введение в поперечную неустойчивость глубоких балок при изгибе

Балки при изгибе при определенных условиях нагрузки и ограничения могут выйти из строя из-за поперечного выпячивания таким же образом, как и у колонн, нагруженных осевым сжатием. Однако консервативно получать изгибающую нагрузку, рассматривая сжатую сторону балки как колонну, поскольку этот подход не учитывает жесткость балки при кручении.

В общем, критический изгибающий момент для поперечной неустойчивости глубокой балки, как показано на рисунке 1-5, может быть выражен как

$$ M_{cr} = { K \sqrt{ E I_y GJ } \over L } $$

(1-6)

где J — постоянная кручения балки, а K — постоянная, зависящая от типа нагрузки и торцевого крепления. Таким образом, критическое сжимающее напряжение определяется выражением

$$ f_{cr} = { M_{cr} ~c \over I_x } $$

(1-7)

где с — расстояние от центральной оси до волокон крайней степени сжатия. Если это сжимающее напряжение попадает в пластический диапазон, коэффициент эквивалентной гибкости можно рассчитать как

$$ \left({ L’ \over \rho }\right) = \pi \sqrt{ E \over f_{cr} } $$

(1-8)

Фактическое критическое напряжение можно затем найти, введя кривые столбца главы 2 при этом значении (L’/ρ). Это значение напряжения не является истинным сжимающим напряжением в балке, но является достаточно точным, чтобы его можно было использовать в качестве ориентира при проектировании.

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

1.3.1.6 Боковая неустойчивость глубоких прямоугольных балок при изгибе

Критический момент для глубоких прямоугольных балок, нагруженных в диапазоне упругости, нагруженных вдоль центральной оси, определяется выражением
92 \над L ч }\справа) $$

(1-10)

где K _u представлен в табл. 1-2.

Если балка не нагружена вдоль центральной оси, как показано на рисунке 1-6, вместо K _f в уравнении (1-10) используется скорректированное значение K’ _f . Этот фактор выражается как

$$ K_f’ = K_f ~(1-n) \left({s \over L}\right) $$

(1-11)

где n — константа, определенная ниже:

1. Для свободно опертых балок с сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета n = 2,84.
2. Для консольных балок с сосредоточенной торцевой нагрузкой n = 0,816.
3. Для свободно опертых балок при равномерной нагрузке n = 2,52.
4. Для консольных балок при равномерной нагрузке n = 0,725.

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил 93) $$

  (1-14)

  Этот метод может применяться только в том случае, если нагрузка приложена к центральной оси.

  ---

  ---

  Механика материалов: изгиб – нормальное напряжение » Механика гибких конструкций

  ---

  исследования

  человек

  курсы

  77 200029 блог

  902
  Моменты площади

  Чтобы рассчитать напряжение (и, следовательно, деформацию), вызванное изгибом, нам нужно понять, где находится нейтральная ось балки, и как рассчитать второй момент площади для данного поперечного сечения.

  Давайте начнем с представления произвольного поперечного сечения — чего-то не круглого, не прямоугольного и т. д. 

  На изображении выше произвольная форма имеет площадь, обозначенную A . Мы можем посмотреть на небольшую дифференциальную область дА , которая существует на расстоянии x и y от начала координат. Мы можем посмотреть на первый момент площади в каждом направлении из следующих формул:

  Первый момент площади — это интеграл длины по площади — это означает, что он будет иметь единицы длины в кубе [L ³ ]. Это важно, потому что помогает нам найти центр тяжести объекта. Центроид определяется как «среднее x (или y ) положение области». Математически это утверждение выглядит так:

  Крайняя правая часть приведенных выше уравнений будет очень полезна в этом курсе — она позволяет нам разбить сложную фигуру на простые формы с известными площадями и известным расположением центроидов. В большинстве инженерных сооружений есть хотя бы одна ось симметрии — и это позволяет значительно упростить нахождение центроида. Центроид должен располагаться на оси симметрии . Например: 

  Для поперечного сечения слева мы знаем, что центроид должен лежать на оси симметрии, поэтому нам нужно найти только центроид вдоль оси y . Поперечное сечение справа еще проще — поскольку центроид должен совпадать с осями симметрии, он должен быть в центре объекта.

  Теперь, когда мы знаем, как найти центр тяжести, мы можем обратить внимание на второй момент площади. Как вы, возможно, помните из предыдущего раздела о кручении, это определяется как:

  И, наконец, иногда нам нужно будет определить второй момент площади относительно произвольной оси x или y , которая не соответствует центроиду. В этом случае мы можем использовать теорему о параллельных осях для его вычисления. В этом случае мы используем второй момент площади относительно центроида плюс термин, который включает расстояния между двумя осями.

  Это уравнение называется теоремой о параллельных осях . Это будет очень полезно на протяжении всего курса. Как описано во вступительном видео к этому разделу, вычисление второго момента площади простой формы может быть простым. Для более сложных форм нам потребуется вычислить I путем вычисления отдельных I для каждой простой формы и объединения их вместе с использованием теоремы о параллельных осях.

  Диаграммы сдвига и момента

  Поперечная нагрузка относится к силам, которые перпендикулярны длинной оси конструкции. Эти поперечные нагрузки вызовут изгибающий момент M  , который вызывает нормальное напряжение , и поперечную силу  V , которая вызывает касательное напряжение . Эти силы могут и будут варьироваться по длине балки, и мы будем использовать диаграммы сдвига и момента (диаграмма VM) для извлечения наиболее подходящих значений. Построение этих диаграмм должно быть вам знакомо по статике , но мы рассмотрим их здесь. При исследовании балки с поперечной нагрузкой необходимо учитывать два важных момента:

  1. Как балка нагружена?
  • точечная нагрузка, распределенная нагрузка (равномерная или переменная), комбинация нагрузок…
  1. Как балка поддерживается?
  • свободно опертый, консольный, нависающий, статически неопределимый…

  Знание нагрузок и опор позволит вам нарисовать качественную диаграмму V-M, а затем статический анализ свободного тела поможет вам определить количественное описание кривых. Начнем с того, что вспомним наши соглашения о знаках .

  Эти соглашения о знаках должны быть знакомы. Если сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки, он положительный. Если момент изгибает луч таким образом, что луч изгибается в «улыбку» или U-образную форму, он положительный. Лучший способ вспомнить эти диаграммы — это проработать пример. Начните с этой консольной балки — отсюда вы можете переходить к более сложным нагрузкам.

  Нормальное напряжение при изгибе

  Во многих отношениях изгиб и кручение очень похожи. Изгиб возникает из-за приложенной пары или изгибающего момента   M . Как и при кручении, при чистом изгибе в материале есть ось, на которой напряжение и деформация равны нулю. Это называется нейтральной осью . И, как и при кручении, напряжение уже не одинаково по сечению конструкции — оно меняется. Давайте начнем с того, что рассмотрим момент о z — ось изгибает конструкцию. В данном случае мы не будем ограничиваться круглыми сечениями – на рисунке ниже рассмотрим призматическое сечение.

  Прежде чем мы углубимся в математику изгиба, давайте попробуем понять его концептуально. Возможно, лучший способ увидеть, что происходит, — наложить изогнутую балку поверх оригинальной прямой балки.

  Теперь вы можете заметить, что нижняя поверхность луча стала длиннее, а верхняя поверхность луча стала короче. Также по центру луча длина вообще не изменилась – соответствует нейтральной оси. Повторяя это язык этого класса, мы можем сказать, что нижняя поверхность находится под напряжением, а верхняя поверхность находится под сжатием. Кое-что, что является немного более тонким, но все еще можно наблюдать из наложенного выше изображения, заключается в том, что смещение луча изменяется линейно сверху вниз, проходя через ноль на нейтральной оси. Помните, это именно то, что мы видели и при кручении — напряжение линейно менялось от центра к центру. Мы можем посмотреть на это распределение напряжений по поперечному сечению балки немного более явно:

  Теперь мы можем найти математическую связь между приложенным моментом и напряжением внутри балки. Мы уже упоминали, что балка деформируется линейно от одного края к другому — это означает, что деформация в направлении x увеличивается линейно с расстоянием вдоль оси y- (или по толщине балки). Таким образом, деформация будет максимальной при растяжении при y = -c (поскольку y=0 находится на нейтральной оси, в данном случае в центре балки), и будет максимальной при сжатии при y=c . Мы можем записать это математически следующим образом:

  Теперь это говорит нам кое-что о деформации, что мы можем сказать о максимальных значениях напряжения? Начнем с умножения обеих частей уравнения на E , модуль упругости Юнга. Теперь наше уравнение выглядит так:

  Используя закон Гука, мы можем связать эти величины с фигурными скобками под ними с напряжением в направлении x и максимальным напряжением. Что дает нам это уравнение для напряжения в направлении x-:

  Наш последний шаг в этом процессе — понять, как изгибающий момент связан с напряжением. Для этого вспомним, что момент — это произведение силы на расстояние. Если мы можем представить себе, что смотрим только на очень маленький элемент в луче, дифференциальный элемент, то мы можем записать это математически как:

  Поскольку в нашем уравнении есть дифференциалы, мы можем определить момент M , действующий на площадь поперечного сечения балки, путем интегрирования обеих частей уравнения. И если мы вспомним наше определение напряжения как силы на единицу площади, мы можем написать:

   

  Последний член в последнем уравнении — интеграл по y в квадрате — представляет второй момент площади относительно оси z (из-за того, как мы определили наши координаты). В декартовых координатах этот второй момент площади обозначается I (в цилиндрических координатах, помните, обозначался J ). Теперь мы можем, наконец, записать наше уравнение для максимального напряжения и, следовательно, напряжения в любой точке вдоль оси y , как:

   

  Важно отметить, что нижние индексы в этом уравнении и направление вдоль поперечного сечения (здесь оно измеряется вдоль y ) будут меняться в зависимости от характера проблемы, то есть направления момента — по какой оси находится луч. сгибаясь? Мы основывали наши обозначения на изображении изогнутой балки на первом изображении этого урока.

  Помните, в начале раздела я упомянул, что изгиб и кручение на самом деле очень похожи? На самом деле мы очень ясно видим это в последнем уравнении. В обоих случаях напряжение (нормальное для изгиба и сдвиговое для кручения) равно пар/момент ( M для изгиба и T для кручения), умноженных на положение вдоль поперечного сечения. , , потому что напряжение неравномерно по поперечному сечению  (с декартовыми координатами для изгиба и цилиндрическими координатами для кручения), все делится на секундный момент площади сечения.

  Сводка

  На этом уроке мы узнали о моментах площади и диаграммах момента сдвига . Из первого момента площади поперечного сечения мы можем вычислить центроид . Мы узнали, как вычислить секундный момент площади в декартовых и полярных координатах, и мы узнали, как теорема о параллельной оси позволяет нам вычислить второй момент площади относительно центра тяжести объекта — это полезно для разделения сложного поперечного сечения на несколько простых фигур и объединение их вместе. Мы пересмотрели концепцию диаграммы сдвига и момента из статики. Эти диаграммы будут необходимы для определения максимальной силы сдвига и изгибающего момента вдоль сложно нагруженной балки, что, в свою очередь, потребуется для расчета напряжений и прогнозирования разрушения. Наконец, мы узнали о нормальном напряжении от изгиба балки. И напряжение, и деформация изменяются по поперечному сечению балки, при этом одна поверхность растягивается, а другая сжимается. Плоскость, проходящая через центр тяжести, образует нейтральную ось — вдоль нейтральной оси нет напряжений или деформаций. Напряжение является функцией приложенного момента и второго момента площади относительно оси, вокруг которой находится момент.

  Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы и выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национальный научный фонд.

  Изгибающий момент: лучшие уравнения, которые нужно знать (бесплатный калькулятор)

  В этой статье мы обсудим концепции, связанные с изгибающим моментом. Мы также предоставляем уравнения и калькуляторы для распространенных конфигураций балок.

  Почему важен изгибающий момент?

  Конструкция конструкций учитывает воздействие нагрузки. Поэтому для сохранения устойчивости конструкций решающее значение имеет сопротивление изгибающему моменту . Примерами нагрузок могут быть, например, динамическая нагрузка (люди или объекты в здании), статическая нагрузка (вес самой конструкции) и нагрузки от окружающей среды (снеговая нагрузка, ветровая нагрузка и землетрясения). Повреждение может произойти из-за изгиба, когда напряжение изгиба превышает предел прочности элемента.

  Грузоподъемность в зависимости от спроса

  Постоянные и временные нагрузки действуют на конструкции одновременно, изменяя взаимодействие всех их компонентов. В результате, проектируя структуру для обеспечения оптимальной устойчивости, инженеры должны учитывать и то, и другое. Способность балки выдерживать нагрузку — это вычисление, которое помогает определить общую прочность конструкции здания. Поскольку ни один материал не может выдержать бесконечную нагрузку, инженеры рассчитывают «изгибающий момент» с учетом внешних сил .

  Внешние силы

  Три силы влияют на расчетные параметры нагрузки:

  • Сжатие происходит, когда частицы вещества прижимаются друг к другу, укорачивая или сжимая их. Сжатие обычно применяется сверху конструкции. Узнайте больше о сжатии и его последствиях в этой статье: Потеря устойчивости колонны
  • Растяжение — это полная противоположность сжатия; при растяжении материал тянется силами тяги. Балка находится под растягивающей нагрузкой, когда балка выходит из строя в верхней части.
  • Сила скручивания, действующая на конструктивную часть, известна как кручение.

  Вышеупомянутые три напряжения всегда присутствуют в конструкциях. Например, предположим, что вы прогуливаетесь по второму этажу дома. Затем ваш вес будет сжимать балки, поддерживающие пол. Следовательно, балки вверху сжимаются, а внизу растягиваются. Это создает изгибающий момент. Кроме того, срезное полотно удерживает балки вместе. В заключение, структура дома должна быть в состоянии сбалансировать все эти нагрузки, чтобы сохранить структурную целостность.

  Что такое изгибающий момент?

  Мера эффекта изгиба из-за приложенной к элементу конструкции поперечной силы называется изгибающим моментом. Таким образом, в проектировании конструкций изгибающий момент является важным элементом при проектировании конструкций. В противном случае было бы трудно понять поведение элементов конструкции при приложении поперечной нагрузки. Как упоминалось ранее, конструкция конструкции удерживает максимальные пределы изгиба конструкции в допустимых пределах. Однако при превышении пределов изгиба или сдвига конструкция не сможет сохранить свою устойчивость и в конечном итоге приведет к ее разрушению.

  Визуализация изгибающих моментов на балке, подвергнутой двухосному изгибу.

  Как рассчитывается изгибающий момент

  Когда поперечная сила прикладывается к секции балки, возникающие напряжения называются напряжениями изгиба. Следовательно, приложенные силы вызывают изгибающий момент, который обычно измеряется как сила x расстояние (кН-м). При измерении изгиба сила должна быть перпендикулярна плечу момента . Балка является наиболее распространенным конструктивным элементом, подверженным изгибающим моментам, так как под нагрузкой она может изгибаться в любой точке по своей длине. Несмотря на различия в процессах, балка может разрушиться из-за касательных напряжений до разрушения изгиба. В этом случае изгибающая сила заставит балку вращаться вокруг точки поворота, если точка поворота не ограничена должным образом. Таким образом, точка, в которой возникает максимальный изгибающий момент, важна для расчета конструкции на изгиб.

  Вывод уравнения изгибающего момента

  Чтобы полностью понять контекст изгибающих моментов, мы должны изучить поперечное сечение балки при изгибе.

  Дискретная полоса напряжения изгиба

  Иллюстрация распределения напряжения по сечению при изгибе. Источник: Университет Аризоны

  Из рисунка видно, что внутренние напряжения статически эквивалентны внешним силам и моментам. Во-первых, рассмотрим силу дФ , действующую на полосу площадью дА . Развиваемое напряжение σ будет равно

  Следовательно, момент M будет задан как

  Здесь y — расстояние силы от нейтральной оси (т. на луче). Впоследствии, чтобы получить максимальное напряжение в крайней волокне, fb , мы можем использовать тригонометрический прием:

  Напряжения изгибающего момента, возникающие в поперечном сечении.

  Из подобия треугольников на рисунке выше мы можем получить

  Преобразование приведенного выше уравнения

  Где c — расстояние от нейтральной оси до вершины поперечного сечения, fbmax — максимальное напряжение на краю волокна, а σ — изгибные напряжения на полосе на расстоянии.

  Интегрирование напряжения изгиба

  Теперь мы можем подставить это в первое уравнение. Однако в начале вывода уравнения предполагалась одна полоса поперечного сечения. Чтобы включить все сечение, берется интегрирование;

  Здесь мы определяем, что определение второго момента площади I можно использовать для упрощения уравнения.

  Переставить для fbmax (Напряжение при изгибе)

  Таким образом, напряжение fb на любом расстоянии, y от нейтральной оси будет

  Мы также можем написать

  Раздел S Y .

  Допущения

  Обратите внимание, что приведенный выше вывод уравнений изгибающего момента основан на следующих допущениях:

  1. Во-первых, балка является линейной и имеет однородную площадь поперечного сечения до приложения напряжений.
  2. Во-вторых, изгибающий момент возникает внутри продольной плоскости симметрии балки.
  3. В-третьих, балка подвергается чистому изгибу (изгибающий момент не изменяется по длине).
  4. Наконец, материал, используемый в балке, является однородным и изотропным.

  Вам понравился этот пост? Подпишитесь, и каждый месяц мы будем присылать вам еще больше таких замечательных постов.

  Уравнения изгибающего момента

  Разделы ниже содержат конфигурацию балки вместе с приложенной нагрузкой и формулами для расчета максимального изгибающего момента .

  Консоли

  В этом подразделе мы рассмотрим различные конфигурации нагрузки консольных балок.

  Консоль – Точечная нагрузка на конце

  Защемленная балка с вертикальной точечной нагрузкой на конце будет иметь максимальный момент на опоре. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента консоли – точечная нагрузка на конце

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой точечной нагрузке P в конце.

  Консоль – равномерно распределенная нагрузка

  Как и в приведенной выше конфигурации, защемленная балка с равномерно распределенной нагрузкой будет иметь максимальный момент на опоре. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента консоли — равномерно распределенная нагрузка

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой точечной равномерно распределенной нагрузке д .

  Консоль – треугольная распределенная нагрузка

  Как и в приведенной выше конфигурации, защемленная балка с треугольной распределенной нагрузкой будет иметь максимальный момент на опоре. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента консоли – треугольная распределенная нагрузка

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой точечной треугольной распределенной нагрузке д .

  Консоль – конечный момент

  Защемленная балка с моментной нагрузкой на конце будет иметь постоянный момент по всей балке. Чтобы проиллюстрировать это, см. диаграмму моментов и уравнение ниже.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Консоль – конечный момент

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента консольной балки длиной L , подвергаемой мгновенной нагрузке M0 в конец.

  Просто поддерживаемые балки

  В этом подразделе мы рассмотрим различные конфигурации нагрузки свободно опертых балок. Другими словами, балки с одним концом на штифтах, а другой конец на ролике.

  Просто поддерживаемая — промежуточная нагрузка

  Теперь, если мы посмотрим на свободно опертые балки, общая конфигурация — это конфигурация с точечной нагрузкой на расстоянии a от первой опоры.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – промежуточная нагрузка

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки общей длиной a + b , подверженной точечная нагрузка P расположен на расстоянии a от опоры.

  П:
  а:
  б:

  Простая опора – нагрузка в центре

  Простая балка с точечной нагрузкой в ​​центре. Максимальный момент возникает там, где приложена точечная нагрузка.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Свободно опертый — нагрузка в центре

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подвергаемой точечной нагрузке P в центре.

  Просто опертая – две точечные нагрузки на равном расстоянии от опор

  Просто опертая балка с двумя точечными нагрузками на равном расстоянии от опор. Максимальный момент возникает между двумя точечными нагрузками.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента для свободно опертой балки — две точечные нагрузки на равном расстоянии от опор

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L две точечные нагрузки на равном расстоянии и от опор.

  Просто опертая – равномерно распределенная нагрузка

  Просто опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой. Максимальный момент возникает в центре балки.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – равномерно распределенная нагрузка

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной равномерно распределенной нагрузке нагрузка q .

  Просто опертая – момент на каждой опоре

  Просто опертая балка с двухточечной моментной нагрузкой на каждом конце. Момент постоянен по длине балки.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – момент на каждой опоре

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной действию двух моментов нагрузки M0 на концах.

  Просто опертая – момент на одной опоре

  Просто опертая балка с моментной нагрузкой на одну опору. Диаграмма момента имеет треугольную форму, где максимальный момент возникает там, где приложен момент.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Просто опертая – момент на одной опоре

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной одному моменту нагрузка M0 на одном конце.

  Свободно опертая, момент в средней точке

  Свободно опертая балка с моментной нагрузкой, приложенной в центре. Максимальный момент будет в центре.

  Уравнение и диаграмма

  Диаграмма изгибающего момента Просто опертая, момент в средней точке

  Калькулятор

  Следуя приведенному выше уравнению, используйте этот калькулятор для расчета максимального момента свободно опертой балки длиной L , подверженной одному моменту нагрузки M0 в центре.

  Заключение по изгибающему моменту

  В заключение, изгибающий момент — это реакция, возникающая в элементе конструкции, когда на него действует внешняя сила или момент, вызывающий его изгиб. Балка является наиболее типичным или простейшим элементом конструкции, подверженным действию изгибающих моментов.

  Чтобы проиллюстрировать это далее, рассмотрим момент (силу) на локте. Как упоминалось ранее в статье, момент прямо пропорционален плечу рычага. Точно так же он играет важную роль в определении параметров конструкции консольных конструкций. Если момент превышает расчетную прочность конструкции или любого другого компонента из-за чрезмерной нагрузки, она может разрушиться. Разрушение башен Всемирного торгового центра произошло из-за увеличения количества соединений, вызванных сильным жаром пожаров. При изменении моментов в конструкции передача усилий на другие элементы, соединения и узлы общей системы становится неуправляемой, что может привести к отказу.

  Наконец, в наши дни инженеры проектируют конструкции с помощью программного обеспечения для получения точных и быстрых результатов. Например, Tribby3d — облачное программное обеспечение для загрузки конструкций. Используя tribby3d, инженеры могут легко рассчитать площади притоков и нагрузку на элементы различных типов, таких как колонны и стены. Затем результаты можно экспортировать в различные выходные файлы, такие как Excel и AutoCAD.

  Tribby3d — это облачное инженерное программное обеспечение, которое может вычислять загрузку элементов.

  Похожие статьи

  Изгиб балки

  Введение

  На этой странице рассматривается классическая теория изгиба балки, которая
  является важным фактором почти во всех структурных проектах и
  анализы. Хотя это менее очевидно, это также относится к изгибу колонны.
  также. И это на самом деле второй мотив этого
  страницу, чтобы заложить основу для предстоящего обсуждения теории потери устойчивости колонны.

  Цель здесь не в том, чтобы охватить все аспекты изгиба балки. Особенно,
  такие темы, как определение нейтральной оси, теорема о параллельной оси и
  расчет отклонений балки не рассматривается.

  ---

  Радиус кривизны

  Радиус кривизны является основным для изгиба балки, поэтому он будет
  рассмотрел здесь. Обычно обозначается греческой буквой \(\rho\),
  и может рассматриваться как радиус круга, имеющего ту же кривизну, что и
  часть графика, кривая дороги или любой другой путь.
  Когда путь прямой, \(\rho\) бесконечен, а когда путь имеет острый
  кривая в нем, \(\rho\) мала.

  Нам понадобится аналитическое выражение для радиуса кривизны,
  поэтому он будет развиваться здесь. Начните с любой функции \(y = y(x)\), как
  показано на рисунке. Напомним, что длина дуги \(s\) связана с
  \(\rho\) через \(\rho \, \theta = s\), где \(\theta\) — угол
  дуги. В дифференциальной форме это \(\rho\, d\theta = ds\).
  Теперь разделите обе части на \(dx\).
  9{3/2} }
  \]
  
  Любопытно, что любое выражение, включающее радиус кривизны, кажется, всегда содержит
  появляются в знаменателе. И это не исключение, даже если это
  определяющее уравнение.

  Также интересен тот факт, что многие механические приложения связаны с изгибом,
  но в малых масштабах. Обсуждаемый здесь изгиб балки не является исключением. В таких случаях,
  наилучший подход состоит в том, чтобы определить ось x вдоль луча таким образом, чтобы
  \(y\) отклонения и, что более важно, деформированный наклон, \(y’\), будут
  оба быть маленькими. Если \(y’ \lt \lt 1\), то \(y’\) можно пренебречь в приведенном выше уравнении.
  Это дает гораздо более простое выражение.
  93}
  \]
  
  , где \({\bf v}\) — вектор, определяемый параметрически как \({\bf v} = {\bf v}(x(t), y(t), z(t))\),
  \({\bf v’}\) — его первая производная, \({\bf v»}\) — его вторая производная, и
  \(|…|\) представляет длину вектора, т. е. квадратный корень из суммы
  квадраты его компонентов.

  ---

  Деформация изгиба

  Напомним, что длина дуги \(L\) связана с радиусом кривизны \(\rho\) через
  \(L = \rho\, \theta\), где \(\theta\) — угол.

  Все становится сложнее, когда принимается во внимание толщина.
  На рисунке ниже объект начальной длины \(L_o\) изогнут
  как показано. Поскольку он имеет конечную толщину, различные его части растягиваются,
  или сжатые, разные количества. Внешняя часть балки
  растянута больше всего, потому что находится дальше всего от
  тот центр. Математически все части согнуты под одним и тем же углом \(\theta\),
  но \(\rho\) варьируется по толщине, поэтому количество \(\rho\, \theta\)
  тоже меняется, а значит, и \(L\) меняется.

  Следующий шаг — принять сознательное решение, чтобы избежать путаницы, связанной с наличием множества
  различные радиусы кривизны по толщине изогнутого объекта. Это
  осуществляется в два этапа.

  Сначала найдите тот \(\rho\), который удовлетворяет \(\rho \, \theta = L_o\). Обратите внимание, что
  \(\rho\) — это вычисляемый результат, а \(\theta\) и \(L_o\) — входные данные.
  Обратите также внимание, что длина в уравнении равна \(L_o\), исходной, недеформированной длине,
  не деформированный. Этот шаг устанавливает одно уникальное значение \(\rho\) для
  поперечное сечение, а не иметь несколько значений, что может привести к большой путанице.

  Нейтральная ось

  Место в поперечном сечении, где \(\rho\, \theta = L_o\) известно
  как нейтральная ось . Это единственное место, где окончательная деформированная длина
  такая же, как исходная недеформированная длина, поэтому растяжения не происходит…
  из-за изгиба. Не предполагайте, что нейтральная ось должна быть посередине.
  поперечного сечения объекта. Это не обязательно так, особенно
  если объект состоит из разных материалов с разными
  жесткость.

  Оговорка «из-за изгиба» в предыдущем абзаце присутствует, потому что объект
  также может быть одновременно нагружен растяжением (или сжатием), что растягивает его
  пока каждая точка в его поперечном сечении не станет длиннее (или короче, если сжато), чем
  исходная длина, \(L_o\).

  Второй шаг состоит в том, чтобы ввести переменную \(y\) как расстояние от нейтральной оси
  до любого другого радиуса в поперечном сечении, как показано на рисунке ниже.
  В результате радиус кривизны при любом
  \(y\) равно \((\rho — y)\), а окончательная длина в любой точке \(y\) определяется выражением

  \[
  L = (\rho — y) \тета
  \]
  
  Напомним, что \(L_o = \rho \, \theta\). Теперь деформация \(\эпсилон\) может быть выражена как

  \[
  \epsilon_x = {L — L_o \over L_o} = { (\rho — y) \theta — \rho \, \theta \over \rho \, \theta}
  \]
  
  , который упрощается до

  \[
  \epsilon_x = — {y \over \rho}
  \]
  
  Это ключевой результат деформации объекта. Он показывает, что деформация равна нулю при \(y=0\),
  нейтральной оси и линейно изменяется от нее. Если объект толстый, то \(y\) может принимать
  на больших значениях, а на тонких объектах — нет. Именно поэтому толстые объекты
  обладают большей жесткостью на изгиб, чем тонкие предметы.

  Кроме того, радиус кривизны в знаменателе объясняет многие эффекты изгиба.
  Когда объект не согнут, то \(\rho\) бесконечно, и деформации, естественно, равны нулю.
  Когда объект изгибается, \(\rho\) уменьшается, и уравнение показывает, что деформации будут увеличиваться.

  Наконец, обратите внимание, что деформация нормальная деформация и на самом деле является продольной,
  по длине балки. Обычно ось \(x\) выравнивают вдоль
  длина балки, создающая деформацию \(\epsilon_x\).

  ---

  Напряжение при изгибе

  Теперь, когда у нас есть выражение для напряжения, разработка выражения для напряжения уже невозможна.
  будь проще. Умножьте деформацию на \(E\), модуль упругости,
  чтобы получить стресс, \(\sigma_x\).

  \[
  \sigma_x = — {E \, y \over \rho}
  \]
  
  Хотя этот шаг был невероятно простым, на самом деле он довольно глубок в том, что
  пренебрегали простотой. Напомним со страницы на
  Закон Гука, согласно которому каждый компонент нормального напряжения
  зависит от всех трех компонентов нормальной деформации. Но здесь у нас просто
  умножил деформацию на \(E\), чтобы получить напряжение. Этот шаг имеет ключевое предположение
  встроены в него… что на балку не действуют боковые нагрузки/напряжения.
  В таких случаях уравнения «срабатывают» так, что \(\sigma_x = E \, \epsilon_x\), как в
  одноосное растяжение. Это происходит в большинстве балок, потому что они тонкие по сравнению с
  их длина.

  92) } \epsilon_x
  \]
  
  , где \(\nu\) — коэффициент Пуассона материалов. Понятно, что напряжение для данного
  деформация в этом случае выше, чем при классическом одноосном растяжении.

  ---

  Изгибающие моменты и напряжения

  Изгибающий момент \(M_z\) в поперечном сечении из-за поля напряжений вычисляется по формуле

  \[
  М_з \; знак равно \int_A r \times dF \; знак равно — \int_A y \, \sigma_x dA
  \]
  
  , где \(y\) — плечо момента, а \(\sigma_x dA\) — сила.

  92 дА
  \]
  
  Всегда помните, что значения \(y\) отсчитываются от нейтральной оси, что
  соответствует \(y = 0\).

  Уравнение изгибающего момента теперь можно записать в виде

  \[
  M_z = {E \, I_{zz} \over \rho}
  \]
  
  , что является очень важным уравнением.

  Малый изгиб Приблизительно

  Напомним, что мы обсуждали ранее, что
  когда уровень изгиба мал и \(y’ \lt \lt 1\), то \(\rho\) может быть близко
  аппроксимируется \(y»\). Это дает

  \[
  M_z = E \, I_{zz} y» \qquad (\text{когда} \;\; y’ \lt \lt 1)
  \]
  
  , что является еще одним очень важным и полезным уравнением.

  Теперь… вернитесь к этим двум уравнениям

  \[
  M_z = {E \, I_{zz} \over \rho} \qquad \qquad \text{and} \qquad \qquad \sigma_x = — {E \, y \over \rho}
  \]
  
  и узнайте, что оба содержат \( E / \rho\). Решение каждого уравнения для этого отношения дает

  \[
  {E \over \rho} = {M_z \over I_{zz} } \qquad \qquad \text{and} \qquad \qquad {E \over \rho} = -{y \over \sigma_x}
  \]
  
  Итак, приравняйте два уравнения, чтобы получить одно из самых известных уравнений в машиностроении.

  \[
  \sigma_x = — {M_z \, y \over \; I_{zz} }
  \]
  

  ---

  Трехмерная гибка

  Полный трехмерный изгиб включает в себя отклонения в двух направлениях, \(y\) и \(z\). Напряжение,
  \(\epsilon_x\), теперь зависит от обеих координат.

  \[
  \epsilon_x = {z \over \rho_y} — {y \over \rho_z}
  \]
  
  Умножьте на \(E\), чтобы получить напряжение.

  \[
  \sigma_x = {E \, z \над \rho_y} — {E \, y \над \rho_z}
  \]
  92 dA — {E \over \rho_y} \int_A y \, z \, dA
  \\
  \\
  \\
  & & & = & {E \over \rho_z} I_{zz} — {E \over \rho_y} I_{yz}
  \end{эквнаррай}
  \]
  
  Уравнения можно компактно записать в матричной форме как

  \[
  \оставил\{
  \матрица {
  Мой
  \\
  \\
  M_z
  }
  \Правильно\}
  знак равно
  \оставил[
  \матрица {
  \; I_{yy} и -I_{yz} \\
  \\
  -I_{yz} & \; I_{zz}
  }
  \Правильно]
  \оставил\{
  \матрица {
  Е / \rho_y
  \\
  \\
  E / \rho_z
  }
  \Правильно\}
  \]
  
  Это показывает, что момент инерции на самом деле является тензором.
  92\).

  Наконец, если \(I_{yz} = 0\), все значительно упрощается до

  \[
  \sigma_x = {M_y \, z \над I_{yy} } — {M_z \, y \над I_{zz} }
  \]

  Простой калькулятор луча | Calcresource

  Прыжки до

  -Калькулятор

  -Фон

  Соглашение

  -Калькулятор

  -Фон

  -Введение

  -Aspuction

  -Согласование. равномерная распределенная нагрузка

  — Свободно опертая балка с точечной силой в середине

  — Свободно опертая балка с точечной силой в произвольном положении

  — Свободно опертая балка с точечным моментом

  — Свободно опертая балка с треугольной нагрузкой

  — Свободно опертая балка с трапецеидальная нагрузка

  —  Свободно опертая балка с распределением трапециевидной нагрузки в виде плиты

  —  Свободно опертая балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

  —  Свободно опертая балка с частично распределенной трапециевидной нагрузкой

  —  Статьи по теме

  Поделитесь этим

  См. также

  Калькулятор балки с простой опорой

  — Д-р Минас Э. Лемонис, доктор философии — Обновлено: 11 мая 2022 г.

  Инструмент рассчитывает статическую реакцию свободно опертых балок при различных сценариях нагружения. Инструмент рассчитывает и строит диаграммы для следующих величин:

  • реакции
  • изгибающие моменты
  • поперечные силы сдвига
  • прогибы
  • уклоны

  Учтите, что приняты допущения теории балки Эйлера-Бернулли, материал упругий и поперечное сечение постоянно на всем пролете балки (призматическая балка).

  • Вместо этого переходите к теории и формулам!

  Единицы:
  	Imperial Метрика 0015

  1	2	3	4
  Structure
  L =		mcmmmydftin
  Optional properties, required только для результатов отклонения/наклона:
  E =		PakPaMPaGPapsiksiMpsi
  I3 = 4
  Рассчитайте момент инерции балок различных сечений с помощью наших специальных калькуляторов.

  ADVERTISEMENT

  1	2	3	4
  Imposed loading:
  Uniform distributed loadUniform распр. нагрузка (суммарная)Точечная нагрузка (по центру)Точечная нагрузкаТочечный моментТреугольная нагрузкаТрапециевидная нагрузкаТрапециевидная нагрузка (плита)Частичная равномерная нагрузкаЧастичная треугольная нагрузкаЧастичная трапециевидная нагрузка
  Calculate

  1

  2

  3

  4

  Results:

  Reactions:

  R A =

  KNNKGTLBFKIP

  R B =

  KNNKGTLBFKIP

  KNNKGTLBFKIP

  .0015

  Bending Moment:

  M u =

  kNmNmkg.mt.mlbf.ftlbf.inkip.ftkip.in

  x m =

  McMmmydftin

  Поперечное сдвиг1403

  mcmmmydftin

  Deflection:

  d u =

  mcmmmydftin

  x d =

  mcmmmydftin

  Slopes

  θ A =

  Degradmrad

  θ B =

  θ B =

  θ B =

  θ B0009 degradmrad

  1	2	3	4
  Request results at a specific point:
  x =		mcmmmydftin
  M(x) =		kNmNmkg. mt.mlbf.ftlbf.inkip.ftkip.in
  V(x) =		kNNkgtlbfkip
  d(x) =		mcmmmydftin
  θ(x) =		degradmrad

  ADVERTISEMENT

  1	2
  Diagrams
  kNmNmkg.mt.mlbf.ftlbf.inkip.ftkip.in
  kNNkgtlbfkip
  mcmmmydftin
  degradmrad
  kN/mN/mkg/mt/mlbf /ftlbf/inkip/ft

  Реклама

  Верхние страницы

  Поделитесь этим

  Фон

  Таблица Содержимо0003

  — Обозначения

  — Свободно опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой

  — Свободно опертая балка с точечной силой в середине

  — Свободно опертая балка с точечной силой в произвольном положении

  — Свободно опертая балка с точечным моментом

  —  Свободно опертая балка с треугольной нагрузкой

  —  Свободно опертая балка с трапециевидной нагрузкой

  —  Свободно опертая балка с трапециевидным распределением нагрузки плитного типа

  —  Свободно опертая балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

  —  Свободно опертая балка с частично распределенной трапециевидной нагрузкой

  —  Статьи по теме

  Введение

  Свободно опертая балка является одной из самых простых конструкций. Он имеет только две опоры, по одной на каждом конце. Одна шарнирная опора и роликовая опора. Оба они препятствуют любому вертикальному движению, позволяя, с другой стороны, свободно вращаться вокруг себя. Роликовая опора также позволяет балке расширяться или сжиматься в осевом направлении, хотя другая опора препятствует свободному горизонтальному движению.

  Удаление любой из опор или вставка внутреннего шарнира превратит свободно опертую балку в механизм, который будет перемещаться без ограничений в одном или нескольких направлениях. Очевидно, что это нежелательно для несущей конструкции. Таким образом, свободно опертая балка не предлагает избыточности опор. Если произойдет локальный отказ, вся конструкция рухнет. Эти типы структур, которые не предлагают избыточности, называются критическими или определяющими 9.0580 конструкций. Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной конструкцией.

  РЕКЛАМА

  Допущения

  Статический анализ любой несущей конструкции включает оценку ее внутренних сил и моментов, а также ее прогибов. Как правило, для плоской конструкции с плоской нагрузкой интересующими внутренними воздействиями являются осевая сила N, поперечная поперечная сила V и изгибающий момент M. Для свободно опертой балки, которая воспринимает только поперечные нагрузки, осевая сила всегда ноль, поэтому им часто пренебрегают. Расчетные результаты на странице основаны на следующих предположениях: 9

• Материал линейно упругий )
• Сечение одинаковое по всей длине балки
• Прогибы малы
• Каждое поперечное сечение, изначально плоское и перпендикулярное к продольной оси, остается плоским и нормальным также к отклоненной оси. Это тот случай, когда высота сечения значительно меньше длины балки (в 10 и более раз), а также сечение не многослойное (не сэндвич-сечение).

Последние два предположения удовлетворяют кинематическим требованиям теории балки Эйлера-Бернулли, которая также принята здесь.

Правила знаков

Для расчета внутренних сил и моментов в любом сечении балки необходимо соблюдать правила знаков. Здесь приняты следующие значения:

1. Осевая сила считается положительной, если она вызывает растяжение детали.
2. Сила сдвига положительна, если она вызывает вращение детали по часовой стрелке.
3. Изгибающий момент является положительным, когда он вызывает растяжение нижнего волокна балки и сжатие верхнего волокна.

Эти правила хоть и не обязательны, но достаточно универсальны. Другой набор правил, если им следовать последовательно, также приведет к тем же физическим результатам.

Символы

• E: модуль упругости материала (модуль Юнга)
• I: момент инерции поперечного сечения вокруг упругой нейтральной оси изгиба
• L: общий пролет балки
• R: опорная реакция
• d: прогиб
• M: изгибающий момент
• V: поперечная поперечная сила
• \theta: уклон

Свободно опертая балка с равномерной нагрузкой Нагрузка w распределяется по всему пролету балки, имея постоянную величину и направление.

Его размеры представляют собой силу на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W=w L, где L — длина пролета. В зависимости от обстоятельств может быть указана либо общая сила W, либо распределенная сила по длине w. 93)}{24 E I}

РЕКЛАМА

Свободно опертая балка с точечной силой посередине

Сила сосредоточена в одной точке, расположенной в середине балки. Однако на практике сила может быть распределена по небольшой площади, хотя размеры этой области должны быть существенно меньше длины пролета балки. В непосредственной близости от приложения силы ожидаются концентрации напряжений, в результате чего реакция, предсказываемая классической балочной теорией, может оказаться неточной. Однако это лишь локальное явление. По мере того, как мы удаляемся от места действия силы, результаты становятся достоверными в силу принципа Сен-Венана. 92)}{16 E I} &, x>L/2 \end{выровнено}\right.

где:

\acute{x}=L-x

Свободно поддерживаемая балка с точечной силой в произвольном месте

Сила сосредоточена в одной точке в любом месте поперек пролета балки. Однако на практике сила может быть распределена по небольшой площади. Однако для того, чтобы считать силу сосредоточенной, размеры области приложения должны быть существенно меньше длины пролета балки. В непосредственной близости от силы ожидаются концентрации напряжений, в результате чего реакция, предсказываемая классической балочной теорией, может оказаться неточной. Однако это лишь локальное явление, и по мере удаления от места действия силы расхождение результатов становится незначительным.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статическую реакцию простой балки на сосредоточенную точечную силу P, приложенную на случайном расстоянии a от левого конца.

99999980

9{3/2}}{27 E I L}&,\textrm{if: }a> L/2\end{выравнивание}\right. 3}{6EI} &, x>a\end{выровнено} \right. 92}{2 E I} &, x>a\end{выровнено} \right.

Свободно опертая балка с точечным моментом

, в любом месте на пролете балки. С практической точки зрения это может быть пара сил или элемент при кручении, соединенный вне плоскости и перпендикулярно балке.

В любом случае область приложения момента должна распространяться на небольшую длину балки, чтобы ее можно было успешно идеализировать как сосредоточенный момент в точке. Несмотря на то, что в непосредственной близости от области применения предсказанные результаты с помощью классической теории балок, как ожидается, будут неточными (из-за концентрации напряжений и других локализованных эффектов), по мере удаления предсказанные результаты совершенно достоверны, как заявил Святой — Принцип Венана.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статическую реакцию простой балки на сосредоточенный точечный момент M, приложенный на расстоянии a от левого конца.

Просто опертая балка с треугольной нагрузкой, однако, ее нагрузка не распределена по всему пролету

постоянна, но изменяется линейно, начиная с нуля на левом конце и заканчивая пиковым значением w_1 на правом конце. Размеры w_1 — это сила на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W={1\over2}w L, где L — длина пролета.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статическую реакцию простой балки на линейно изменяющуюся (треугольную) распределенную нагрузку, возрастающую слева направо.

Свободно опертая балка с трапециевидной нагрузкой

Нагрузка распределяется по всему пролету балки и имеет линейно изменяющуюся величину, начиная с w_1 на левом конце и до w_2 на правом конце. Размеры w_1 и w_2 являются силой на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W={L\over2}(w_1+w_2), где L — длина пролета.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статическую реакцию простой балки трапециевидной формы на переменную распределенную нагрузку.

93}{24EI}

Опорная балка с трапециевидным распределением нагрузки характерны для балок по периметру плиты.

Распределение имеет трапециевидную форму с максимальной величиной w внутри балки, а на двух ее концах она становится равной нулю. Размеры (\w\) представляют собой силу на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W=w (L-a/2-b/2), где L — длина пролета, а a, b — длины левой и правой сторон балки соответственно, где распределение нагрузки переменная (треугольная). 93

Свободно опертая балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть пролета балки с постоянной величиной w, в то время как оставшийся пролет не нагружен. Размеры w представляют собой силу на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W=\left(L-a-b\right)w, где L — длина пролета, а a, b — ненагруженные длины левой и правой сторон балки соответственно.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статическую реакцию простой балки на частично распределенную равномерную нагрузку. 92}{2 E I} &,x\ge L-b \end{выровнено}\right.

Где:

\ aste {x} = L-X

X_A = X-A

L_W = L-A-B

. Проще говоря, с частично распределенной нагрузкой

. пролет балки, имеющий линейно изменяющуюся величину от w_1 до w_2, а оставшийся пролет разгружен. Размеры w_1 и w_2 являются силой на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W={L-a-b\over2}(w_1+w_2), где L — длина пролета, а a, b — ненагруженные длины левой и правой сторон балки соответственно.

Это самый общий случай. Формулы для частично распределенных равномерных и треугольных нагрузок могут быть получены путем соответствующей установки значений w_1 и w_2. Кроме того, соответствующие случаи для полностью загруженного пролета могут быть получены путем установки a и b равными нулю.

В следующей таблице представлены формулы, описывающие статическую реакцию простой балки на частично распределенную трапециевидную нагрузку.

Статьи по теме

Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

РЕКЛАМА

См. также

Бесплатный онлайн калькулятор луча | Civils.ai

Создание диаграмм изгибающих моментов, диаграмм поперечной силы и измерение прогиба для неопределенного пролета балки.

Рассчитайте изгибающий момент, поперечную силу, силы реакции и прогиб, используя свойства реального стального сечения.

Этот инструмент оптимизирован для настольного использования

Длина балки: 10,0 м
Второй момент площади: 473,0 см ⁴
Модуль Юнга: 210,0 ГПа

Загрузка…

Условия крепления неудовлетворительны, добавьте еще одно крепление.

Загрузка…

Макс. БМ:
Мин. BM:

Макс. SF:
Мин. SF:

Макс. отклонение:

Мин. отклонение:

Как работает этот анализ?

Введение

Балки бывают самых разных форм и размеров, понимание того, как рассчитать силы, действующие на конструкционную балку, может быть затруднено. Но здесь мы дадим вам краткое введение в теорию того, как они устроены. Начиная с теории напряжения балки .