Расчет двутавровой балки на прогиб: Расчёт металлической балки онлайн (калькулятор)

Расчет прогиба балки методом начальных параметров: учимся составлять формулы

В этой статье будем рассматривать универсальный метод расчёта прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В качестве примера возьмём металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. А также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Кроме того, сечения поворачиваются на определенный угол. Эти две величины, для любого сечения, можно определить с помощью метода начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Расчет прогибов необходим для выполнения расчета на жесткость. Балка может считаться жесткой, только если расчётные значения прогибов не превышают допустимых значений. Если же условие жесткости не выполняется, то принимаются меры по ее повышению. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод, можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине).

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

• в опорах прогибы равны нулю;
• в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Учитывая эти свойства, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой же балки:

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим сечение в середине пролета – сечение C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]

\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала, из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. { 4 } } =-2см \]

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье. А также рекомендую вам посмотреть другие примеры определение прогибов этим методом. Там вы найдете более сложные задачи, определение углов поворотов, примеры расчета консольных балок (с жесткой заделкой).

Другие уроки

Расчет балки на прогиб: формулы и пример расчета

Приветствую тебя, читатель экспресс-курса — «сопромат для чайников» на сайте – SoproMats.ru. Меня зовут Константин Вавилов, я являюсь автором статей по сопромату и других материалов данного ресурса. В этой статье, будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, на нашем проекте, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Виды балок

Независимо от того, какой должна быть конструкция, материал для изготовления балок выбирают прочный и надежный. Отличаются они друг от друга лишь по своим параметрам:

1. длине;
2. форме;
3. сечению.

Чаще всего, для изготовления балок используется дерево и металл. Расчет балки на изгиб напрямую зависит от выбранного материала. В данном случае большое значение имеют такие показатели как однородность и структура.

Балки из дерева

Конструкции из дерева используются в одноэтажных домах или небольших домиках. Они отлично подходят как для потолка, так и пола. Для расчета прогиба балки берут следующие величины:

1. Тип материала. Каждое дерево отличается прочностью, твердостью и гибкостью.
2. Геометрические показатели, в которые включается как форма изделия, так и его сечение.
3. Предполагаемые нагрузки, которые будут давить на материал.

На то, как будет изгибаться балка учитывается не только реальное давление, но и все возможные силы воздействия.

Стальные балки

Эти изделия очень сложные не только по сечению, но и по составу. Так как из выливают из нескольких видов металла. Производя расчет нагрузки на балку, необходимо принимать во внимание насколько она жесткая, а так же прочно ли она соединена.

Балки из стали используют для строительства многоэтажных домов Источник i0.photo.2gis.com

Конструкция из металла между собой соединяется с помощью:

• сваривания;
• склепывания;
• с помощью соединителей, имеющих резьбу.

Прочные металлические балки используются для строительства домов в несколько этажей. В таких конструкциях вся нагрузка равномерно распределяется по всей балке.

Смотрите также: Каталог проектов домов с террасой.

Прочность и жесткость балки

Балки в доме

Современные строительные технологии, применяемые для просчета стройконструкций, называемых также стержневыми, по качествам прочности и жесткости дают уникальную возможность на первом же этапе проектировки вычислить величину прогиба.

Кроме этого, можно, опираясь на рассчитанные данные, составить заключение о вероятности использования строительной конструкции.

Какой вопрос позволяет решать указанная далее формула для расчета жесткости? Данные, полученные таким путем, говорят о самых больших изменениях в геометрии детали, что могут возникнуть в строительной конструкции.

Несмотря на некоторую бюрократизацию методик для вычисления прогиба, используются опытные формулы, а если воздействие реальных нагрузок отличается от идеальных или усредненных, вопрос решается введением дополнительных коэффициентов для запаса прочности. Понятия «жесткость» и «прочность» связаны и абсолютно неразделимы.

Хотя некоторые различия все-таки есть. Но только в том случае, если рассматривать данные показатели в автомашинах. В стройконструкциях главное нарушение конструкции объектов случается потому, что снижаются или нивелируются полностью вопросы, связанные с запасом прочности, вследствие чего здания нельзя эксплуатировать.

Деревянные балки из древесины хвойных пород

На сегодня в таких предметах изучения, как «Сопромат» и другие, приняты 2 метода для расчета прочности и жесткости:

• Простой. При просчитывании показателей на основе этого метода используют увеличенный коэффициент.
• Точный. Тут используются не только коэффициенты, показывающие запас прочности, но также осуществляется вычисление пограничного состояния (какую нагрузку может выдержать балка).

Как добиться прочности конструкции

Согласно нормам, балка, используемая на эстакаде должна иметь изгиб не больше одного см при ее длине в полтора метра. При этом, в других конструкциях этот показатель меняется. В индивидуальном доме, балки чердака могут прогибаться на один см, при длине 2 м, а в многоэтажных домах тот же сантиметр должен припадать на длину в 2,5 м.

Для того, чтобы постройка была надежной и прочной, расчеты нужно проводить еще в процессе планирования здания. Именно в этот момент и определяется такой показатель, как изгиб балки. Ведь чем меньше прогибается балка, тем выше прочность дома. Таким образом потолок получает равномерное распределение веса и сохраняет устойчивость дома. Если же балки сильно прогибаются, то и весь потолок будет ненадежным и со временем происходит разрыв соединений и здание рушится.

Перед началом расчета, составляют схему давления на балку – макет будет кстати Источник pouznaval.ru

Расчеты проводятся с помощью одного из способов:

1. Прибегнуть к помощи онлайн-калькулятора. В данном инструменте запрограммированы стандартные данные.
2. Воспользоваться справочником и, сравнив все параметры, произвести расчеты самостоятельно.
3. Воспользоваться формулой и самостоятельно просчитать изгиб балок.

Важно! Просчитывать изгиб балки очень важно, чтобы на практике здание было прочным и надежным.

В помещении, которое используется уже не один год, определить насколько аварийным является его состояние, можно только после того, как будет определен уровень проседания балок.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

К сведению! Чтобы реально представлять, почему так важно знать величину отклонения от первоначального положения, стоить понимать, что измерение величины прогиба является единственным доступным и достоверным способом определить состояние балки на практике.
Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Формулы для определения изгиба балки

При расчете необходимо учесть силу сопротивления материала, из которого изготовлена конструкция. И только после этого рисуется схема, где указывается сила давления на балку.

Таким образом происходят измерения для вычисления изгиба Источник novainfo.ru

Смотрите также: Каталог компаний, что специализируются на монтаже печей и каминов.

Процесс расчета выглядит следующим образом:

1. Используя формулу площади прямоугольной фигуры S=b*h, определяется сечение балки, а так же берется ко вниманию ее длина L;
2. На балку воздействует сила давления Q, которая изгибает ее в центре, а ее концы образуют угол θ. Обязательно учитывается изначальное положение конструкции f;
3. В схеме концы импровизированной балки установлены совершенно свободно, при этом опоры установлены стационарно. В этом случае нет реакции, как в случае горизонтального закрепления конструкции, и концы балки перемещаются в свободном направлении.

Изгиб предмета под давлением определяется формулой Е=R/Δ. В этом случае Е – это показатель, который берется из справочника, R – сила давления на предмет, Δ – это показатель, который получается в процессе изгиба.

Имея все необходимые показатели можно узнать, какой будет инерция, для этого используется формула:

Δ = Q/(S·Е)

Если же нагрузка будет равномерна по всей длине балки. То нужно использовать такую формулу:

Δ = q·h/(S·Е).

После всех этих вычислений, приходит черед к определению изгиба по системе Юнга. То есть, балку изгибают таким образом, что ее концы выворачиваются в разные стороны, при этом имеют разные куты изгиба. В таком случае в формуле обе части нужно умножить на число L и тогда получается следующее равенство:

Δ*L = Q·L/(b·h·Е)

Формулы можно найти в справочнике Источник pol-exp.com

Как вычислить вспомогательные величины

Для получения полной информации о значениях, необходимых для достижения конечной цели вычислений, нужно узнать, каков момент сопротивление сечения (формула № 2):

Wn(требуемое) = М мах / (Ry * Уc)

Необходимо обязательно уитывать ориентирование рассматриваемого балочного сечения, так как с уменьшением моментов инерций жесткость балок снижается, чего допускать нельзя. Для выяснения максимального значения нагрузки f, которое может выдержать балка, надо вычислить его по такой формуле № 3:

f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦], где

• L – продольный размер, в метрах
• E – коэффициент, показывающий упругость (для каждого материала или сплава он будет разным)
• J – момент инерции по сечению
• qn – это нагрузка, равномерно-распространенная, выражается в кг/м или в Н/м

Показатель J рассчитывается так:

J = b * h4 / 12

Обозначения:

• b – диаметр сечений
• h – вертикальный размер сечения

Примером для сечений, величиной 15 на 20 сантиметров:

J = 0,15 * (0,2)3 / 12 = 10 000 см4 или 0,0001 м4

Кроме указанных расчетных или табличных величин, среди важных факторов, которые нужно учитывать при определении максимальных нагрузок, выделяют такие: статические (которые действуют постоянно, независимо от переменных внешних факторов), периодические (действие ветра, вибрации, ударов).

Дополнительные функции двутавра в частном домостроении

Сама перекрытие вовсе не обязательно должно состоять только из металлических двутавровых балок. Нередко их используют только в самых напряженных местах, а между металлическими частями устанавливают деревянные двутавры.

Почему так? Дело в том, что для сварки нужна высокая квалификация рабочих. Далее, в обычной литературе и интернет-сайтах нет того многообразия узлов и готовых схем конструкции для установки такого перекрытия, здесь действительно требуется грамотный инженер, и даже мы даем только рекомендации. Кроме того, металл обходится недешево. Да и качество сварки очень важно. Она должна работать долго, даже в условиях коррозии или перемены нагрузок.

Поэтому вот такой вариант не только имеет право на жизнь, но и достаточно практичен:

И, наконец, металлическая двутавровая балка нередко служит дополнительным функциональным элементов, который в любом хозяйстве имеет ценность:

Что собой представляет сварной двутавр?

По своему типу сечения двутавровые металлические балки сегодня принято делить на прокатные или составные, которые называются еще сварными. Сварная двутавровая балка – это особый вид фасонного металлического проката в форме наклонного или горизонтального бруса. Изготавливают ее сегодня из углеродистой и низколегированной стали, обязательно высокого качества.

Давайте перечислим основные преимущества двутавровых сварных балок:

• Перекрывают большие пролеты со значительным нагрузками.
• Идеально перераспределяют горизонтальные и вертикальные нагрузки.
• Прекрасно работают на изгиб благодаря жесткости профиля балки.
• Не горят и не теряют свою несущую способность при нагревании даже достаточно высокими температурами.
• Устойчивы к биологическим воздействиям.
• Отлично подходят для строительства конструкции быстровозводимых зданий.
• Позволяют значительнее снизить массу всей конструкции, по сравнению с горячей корнями.
• Изготавливаются также с полностью ассиметричным сечением.

Вот почему такие сварные балки используются сегодня и в строительстве жилых домов, и для промышленных комплексов, и даже для мостов и тоннелей. Казалось бы, что такая балка будет слишком тяжелой для частного домостроительства, но на самом деле применение стальных двутавров позволяет в итоге сократить общий вес несущих конструкций. Но помните, что в отношении к перекрытию из сварных стальных двутавров существуют свои строгие требования:

Классические ошибки

Инженеры, не имеющие должного опыта, часто допускают некоторые ошибки при расчёте балок, а именно:

1. Слишком малое сечение, даже если оно и проходит по условиям прочности, может прогнуться больше нормативных значений, из-за чего перекрытие перестанет удовлетворять эксплуатационным требованиям.

2. Наоборот, слишком большое сечение приведёт к перерасходу материалов и повышенным затратам при строительстве.
3. Неверно выбранное защемление балки повлияет на результат расчёта.
4. При расчёте необходимо приводить все единицы к единому модулю, а, в противном случае, результат окажется далёким от истины.

Чтобы не совершать типичные ошибки, следует выполнять расчёт в соответствии с алгоритмом и фиксировать все промежуточные результаты. После выполнения расчёта следует несколько раз проверить результат. Если возникают сомнения, лучше сравнить подобранное сечение балки с аналогичными примерами.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Прогиб балки при различных нагрузках и опорах 1.1 Консольные балки 1.1.1 Консольные балки с торцевыми нагрузками
• 1.1.2 Равномерно нагруженные консольные балки

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

• E – модуль упругости;
• I – момент инерции;
• Vk – прогиб сечения K;
• VO – прогиб сечения O;
• θO – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае Vk, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Расчет нагрузки на деревянную балку. Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула

ГлавнаяРазноеРасчет нагрузки на деревянную балку

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула

Балка – элемент в инженерии, представляющий собой стержень, который нагружают силы, действующие в направлении, перпендикулярном стержню. Деятельность инженеров зачастую включает в себя необходимость расчета прогиба балки под нагрузкой. Этой действие выполняется для того, чтобы ограничить максимальный прогиб балки.

Типы

На сегодняшний день в строительстве могут использоваться балки, изготовленные из разных материалов. Это может быть металл или дерево. Каждый конкретный случай подразумевает под собой разные балки. При этом расчет балок на прогиб может иметь некоторые отличия, которые возникают по принципу разницы в строении и используемых материалов.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

• Соответствие прогиба и допустимых значений.
• Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации. Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае. Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Расчет балок на прогиб. Алгоритм работы

На самом деле алгоритм, по которому делается подобный расчет, достаточно прост. В качестве примера рассмотрим несколько упрощенную схему проведения расчета, при этом опустив некоторые специфические термины и формулы. Для того чтобы произвести расчет балок на прогиб, необходимо выполнить ряд действий в определенном порядке. Алгоритм проведения расчетов следующий:

• Составляется расчетная схема.
• Определяются геометрические характеристики балки.
• Вычисляется максимальную нагрузку на данный элемент.
• В случае возникновения необходимости проверяется прочность бруса по изгибающему моменту.
• Производится вычисление максимального прогиба.

Как видите, все действия достаточно просты и вполне выполнимы.

Составление расчетной схемы балки

Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.

Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.

Момент инерции

Геометрическая характеристика, которая получила название момент инерции, важна при проведении расчетов на прогиб балки. Формула позволяет вычислить эту величину, мы приведем ее немного ниже.

При вычислении момента инерции нужно обращать внимание на то, что размер этой характеристики зависит от того, какова ориентация элемента в пространстве. 3/12, где:

b – ширина сечения;

h – высота сечения балки.

Вычисления максимального уровня нагрузки

Определение максимальной нагрузки на элемент конструкции производится с учетом целого ряда факторов и показателей. Обычно при вычислении уровня нагрузки берут во внимание вес 1 погонного метра балки, вес 1 квадратного метра перекрытия, нагрузку на перекрытие временного характера и нагрузку от перегородок на 1 квадратный метр перекрытия. Также учитывается расстояние между балками, измеренное в метрах. Для примера вычисления максимальной нагрузки на деревянную балку примем усредненные значения, согласно которым вес перекрытия составляет 60 кг/м², временная нагрузка на перекрытие равна 250 кг/м², перегородки будут весить 75 кг/м². Вес самой балки очень просто вычислить, зная ее объем и плотность. Предположим, что используется деревянная балка сечением 0,15х0,2 м. В этом случае ее вес будет составлять 18 кг/пог.м. Также для примера примем расстояние между брусьями перекрытия равным 600 мм. 3/48*E*J, где:

F – сила давления на брус.

Также обращаем внимание на то, что значение модуля упругости, используемое в расчетах, может различаться для разных видов древесины. Влияние оказывают не только порода дерева, но и вид бруса. Поэтому цельная балка из дерева, клееный брус или оцилиндрованное бревно будут иметь разные модули упругости, а значит, и разные значения максимального прогиба.

Вы можете преследовать разные цели, совершая расчет балок на прогиб. Если вы хотите узнать пределы деформации элементов конструкции, то по завершении расчета стрелки прогиба вы можете остановиться. Если же ваша цель – установить уровень соответствия найденных показателей строительным нормам, то их нужно сравнить с данными, которые размещены в специальных документах нормативного характера.

Двутавровая балка

Обратите внимание на то, что балки из двутавра применяются несколько реже в силу их формы. Однако также не стоит забывать, что такой элемент конструкции выдерживает гораздо большие нагрузки, чем уголок или швеллер, альтернативой которых может стать двутавровая балка.

Расчет прогиба двутавровой балки стоит производить в том случае, если вы собираетесь использовать ее в качестве мощного элемента конструкции.

Также обращаем ваше внимание на то, что не для всех типов балок из двутавра можно производить расчет прогиба. В каких же случаях разрешено рассчитать прогиб двутавровой балки? Всего таких случаев 6, которые соответствуют шести типам двутавровых балок. Эти типы следующие:

• Балка однопролетного типа с равномерно распределенной нагрузкой.
• Консоль с жесткой заделкой на одном конце и равномерно распределенной нагрузкой.
• Балка из одного пролета с консолью с одной стороны, к которой прикладывается равномерно распределенная нагрузка.
• Однопролетная балка с шарнирным типом опирания с сосредоточенной силой.
• Однопролетная шарнирно опертая балка с двумя сосредоточенными силами.
• Консоль с жесткой заделкой и сосредоточенной силой.

Металлические балки

Расчет максимального прогиба одинаковый, будь это стальная балка или же элемент из другого материала. Главное — помнить о тех величинах, которые специфические и постоянные, как к примеру модуль упругости материала. При работе с металлическими балками, важно помнить, что они могут быть изготовлены из стали или же из двутавра. Прогиб металлической балки, изготовленной из стали, вычисляется с учетом, что константа Е в данном случае составляет 2·105Мпа. Все остальные элементы, вроде момента инерции, вычисляются по алгоритмам, описанным выше.

Расчет максимального прогиба для балки с двумя опорами

В качестве примера рассмотрим схему, в которой балка находится на двух опорах, а к ней прикладывается сосредоточенная сила в произвольной точке. До момента прикладывания силы балка представляла собой прямую линию, однако под воздействием силы изменила свой вид и вследствие деформации стала кривой.

Предположим, что плоскость ХУ является плоскостью симметрии балки на двух опорах. Все нагрузки действуют на балку в этой плоскости. В этом случае фактом будет то, что кривая, полученная в результате действия силы, также будет находиться в этой плоскости. Данная кривая получила название упругой линии балки или же линии прогибов балки. Алгебраически решить упругую линию балки и рассчитать прогиб балки, формула которого будет постоянной для балок с двумя опорами, можно следующим образом.

Прогиб на расстоянии z от левой опоры балки при 0 ≤ z ≤ a

F(z)=(P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*z/a+z/b-z3/a2*b)

Прогиб балки на двух опорах на расстоянии z от левой опоры при а ≤ z ≤l

f(z)=(-P*a2*b2)/(6E*J*l)*(2*(l-z)/b+(l-z)/a-(l-z)3/a+b2), где Р – прикладываемая сила, Е – модуль упругости материала, J – осевой момент инерции.

В случае балки с двумя опорами момент инерции вычисляется следующим образом:

J=b1h33/12, где b1 и h3 – значения ширины и высоты сечения используемой балки соответственно.

Заключение

В заключение можно сделать вывод о том, что самстоятельно вычислить величину максимального прогиба балки разных типов достаточно просто. Как было показано в этой статье, главное — знать некоторые характеристики, которые зависят от материала и его геометрических характеристик, а также провести вычисления по нескольким формулам, в которых каждый параметр имеет свое объяснение и не берется из ниоткуда.

fb.ru

видео-инструкция по монтажу своими руками, как подобрать, рассчитать нагрузки, прочность, максимальный пролет, размеры, цена, фото

Все фото из статьи

Если вы самостоятельно решили сделать в строящемся или уже построенном доме деревянное перекрытие, то вам обязательно следует разобраться, как подобрать деревянные балки в соответствии с их сечением и длиной пролёта.

Кроме того, такой профиль, даже если у него одинаковое сечение, не обязательно идентичен по прочности, ведь это может быть, е примеру, цельный массив или клееный брус, что, вполне естественно, сказывается на его характеристиках. Мы предлагаем вам научиться считать самостоятельно, а ещё хотим предложить вам к просмотру видео в этой статье по нашей теме.

Перекрытие — конструкция пола по деревянным балкам с утеплением и вентзазором

Деревянные балки

Нагрузка на деревянную балку осуществляется сверху вниз

Примечание. Слово «балка», которое широко применяется в русской строительной терминологии, означает несущий конструктивный элемент, который, главным образом, работает на изгиб. На практике представляет собой горизонтальный профиль, несущий на себе определённую степень тяжести различных элементов конструкции.

Каким может быть профиль

Виды бруса (слева направо): из цельного массива дерева, клееный

• Как мы уже сказали, расчет нагрузки на деревянную балку будет зависеть не только от её сечения, но и от прочности, что можно привести на примере цельного и клееного бруса одинаковой величины. Так, если цельный профиль представляет собой обычное обрезанное со всех сторон бревно, то второй вариант, это обработанные различными составами и склеенные между собой доски (ламели), которые для этого случая располагаются вертикально. Такая клеевая сборка несколько увеличивает прочность материала на изгиб, а также продлевает срок его эксплуатации.
• Кроме того, в современном строительстве инструкция позволяет использовать комбинированные деревянные профили, например, это может быть ориентировано-стружечная плита с цельным массивом дерева или пространственные балки, элементы которых скрепляются зубчатыми пластинами. Конечно, на прочность они более слабые, нежели сталь или бетон, поэтому приходится прибегать к большему поперечному сечению. Но, как бы там ни было, но у пиломатериалов всегда есть преимущество – это экологическая чистота и малый вес конструкции по сравнению с другими материалами.

Примечание. Если при строительстве дома вы хотите обустроить балкон из дерева, то подберите соответствующие размеры деревянных балок по длине.Их выступающие концы будут служить опорой для основания конструкции.Но расчет деревянной консольной балки вам здесь не нужен – будет вполне достаточно сечения для прочности перекрытия.

Традиционные балки

Монтаж перекрытия

Предел прочности деревянных балок зависит не только от их сечения, но и от их длины, так, максимальный пролет деревянной балки в оптимальном режиме не должен превышать 4м, но, тем не менее, существуют и допуски на определённых условиях.

А вот оптимальное сечение профиля не квадратное, как многие считают, а прямоугольное, где соотношение высоты к ширине составляет 1,4:1. Если балка заделывается в стену, то её следует закрыть по кругу гидроизоляцией, не трогая при этом торец, но в любом случае конец, который туда заводится, должен быть не менее 12 см, кроме того, его желательно закрепить анкерным болтом для жёсткости.

Если вы производите расчёты поперечного сечения своими руками, вам следует учитывать, что здесь идёт в учёт нагрузка от собственной массы, которая обычно составляет 190-220 кг/м2, а эксплуатационная нагрузка берётся за 200 кг/м2. Направление установки определяется по более короткому расстоянию пролёта, а шаг определяется наличием стояков в каркасе (одна горизонталь на одну вертикаль).

Таблица под нагрузку 400 кг/м2

Нагрузка (кг/м пог. )	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0
	Поперечное сечение (мм)
150	50х140	50х160	60х180	80х180	80х200	100х200	100х220
200	50х160	50х180	70х180	70х200	100х200	120х220	140х220
250	60х160	60х180	70х200	100х200	120х200	140х220	160х220

Более слабые нагрузки

Примечание. Как видите, деревянная балка с пролетом 6 метров может использоваться при нагрузках от 250 до 400 кг/м2.Но это крайний случай – гораздо надёжнее, если есть предположение возникновения больших нагрузок, использовать центральные опоры.

Монтаж подпоры

Параметры для круглого бревна при расчетной нагрузке 400 кг/м2

Общие параметры для пролётов перекрытий

Пояснение. Настоящая таблица актуальна для тех случаев, когда распределённая равномерно временная нагрузка составляет не более 2,4 кПа=0,0024мПа=244,73 кгс/м2

Монтаж перекрытий

Несмотря на различные современные технологии конструктивных особенностей деревянных балок, всё-таки в России отдают предпочтение цельному массиву дерева, и основной причиной такого предпочтения является низкая цена, по которой в РФ можно приобрести пиломатериалы для населения.

Да и какой смысл строить дом из цельномассивного бруса или бревна и при этом перекрытия монтировать из клееного профиля или с добавками стальных укрепляющих ламелей.

Декоративные деревянные балки

Таблицы, которые вы видели выше, не распространяются на декоративные балки, которые просто держат потолок, но при этом со стороны чердака нет абсолютно никаких нагрузок, а в некоторых случаях чердак отсутствует вообще.

Поэтому, здесь поперечное сечение начинается от размера 100×50 мм и регулируется исключительно фантазией дизайнера и особенностями освещения. На верхнем фото вы видите именно такую конструкцию, где балки имеют 100×50 мм с ячейкой каркаса 100 см.

Заключение

Для крепежа деревянных балок используется металлическая фурнитура. Среди этих элементов основными являются стальные скобы, анкерные болты, металлические перфорированные полосы, простые и усиленные уголки. Весь этот крепёж для усиления жёсткости потолочной конструкции фиксируется при помощи саморезов разного сечения, в зависимости от потребности.

rubankom.com

Сбор нагрузок на перекрытие и балку

Сбор нагрузок производится всегда, когда нужно рассчитать несущую способность строительных конструкций. В частности, для перекрытий нагрузки собираются с целью определения толщины, шага и сечения арматуры железобетонного перекрытия, сечения и шага балок деревянного перекрытия, вида, шага и номера металлических балок (швеллер, двутавр и т.д.).

Сбор нагрузок производится с учетом требований СНиПа 2.01.07-85* (или по новому СП 20.13330.2011) «Актуализированная редакция» [1].

Данное мероприятие для перекрытия жилого дома включает в себя следующую последовательность:

1. Определение веса «пирога» перекрытия.

В «пирог» входят: ограждающие конструкции (например, монолитная железобетонная плита), теплоизоляционные и пароизоляционные материалы, выравнивающие материалы (например, стяжка или наливной пол), покрытие пола (линолеум, паркет, ламинат и т.д.).

Для определения веса того или иного слоя нужно знать плотность материала и его толщину.

2. Определение временной нагрузки.

К временным нагрузкам относятся мебель, техника, люди, животные, т.е. все то, что способно двигаться или переставляться местами. Их нормативные значения можно найти в таблице 8.3. [1]. Например, для квартир жилых домов нормативное значение равномерно распределенной нагрузки составляет 150 кг/м2.

3. Определение расчетной нагрузки.

Делается это с помощью коэффициентов надежности по нагрузки, которые можно найти в том же СНиПе. Для веса строительных конструкций и грунтов — это таблица 7. 1 [1]. Что касается равномерно распределенной временной нагрузки и нагрузки от материалов, то здесь коэффициент надежности берется в зависимости от нормативного значения по пункту 8.2.2 [1]. Так, по нему, если вес составляет менее 200 кг/м2 коэффициент равен 1,3, если равен или более 200 кг/м2 — 1,2. Также данный пункт регламентирует значение нормативной нагрузки от веса перегородок, которая должна равняться не менее 50 кг/м2.

4. Сложение.

В конце необходимо сложить все расчетные и нормативные значения с целью определения общего значения для дальнейшего использования их в расчете на несущую способность.

В случае сбора нагрузок на балку ситуация та же. Только после получения конечных значений их нужно будет преобразовать из кг/м2 в кг/м. Делается это с помощью умножения общей расчетной или нормативной нагрузки на величину пролета.

Для того, чтобы материал был более понятен, рассмотрим два примера. В первом примере соберем нагрузки на перекрытие, а во втором на балку.

А после рассмотрения примеров с целью экономии времени можно воспользоваться специальным калькулятором. Он позволяет в режиме онлайн собрать нагрузки на перекрытие, стены и балки перекрытия.

Пример 1. Сбор нагрузок на междуэтажное перекрытие жилого дома.

Имеется перекрытие, состоящее из следующих слоев:

1. Многопустотная железобетонная плита — 220 мм.

2. Цементно-песчаная стяжка (ρ=1800 кг/м3) — 30 мм.

3. Утепленный линолеум.

На перекрытие опирается одна кирпичная перегородка.

Определим нагрузки, действующие на 1 м2 грузовой площади (кг/м2) перекрытия. Для наглядности весь процесс сбора нагрузок произведем в таблице.

Пример 2.

Сбор нагрузок на балку перекрытия.

Имеется перекрытие, которое опирается на деревянные балки, состоящее из следующих слоев:

1. Доска из сосны (ρ=520 кг/м3) — 40 мм.

2. Линолеум.

Шаг деревянных балок — 600 мм.

Также на перекрытие опирается перегородка из гипсокартонных листов.

Определение нагрузок на балку производится в два этапа:

1 этап — составляем таблицу, как описано выше, т.е. определяем нагрузки, действующие на 1 м2.

2 этап — преобразовываем нагрузки из 1кг/м2 в 1 кг/п.м.

Определение нормативной нагрузки на балку:

qнорм = 225,8кг/м2*(0,3м+0,3м) = 135,48 кг/м.

Определение расчетной нагрузки на балку:

qрасч = 279,4кг/м2*(0,3м+0,3м) = 167,64 кг/м.

Поделиться статьей с друзьями:

svoydomtoday.ru

• Ремонт и строительство фото
• Пролет стропильной ноги
• Несущая способность балки деревянной
• Коньковый брус сечение
• Укосины в стропильной системе
• Конструкция скатной крыши с деревянными стропилами
• Балки перекрытия деревянные расчет таблица
• Монтаж вальмовой крыши
• Пошаговое строительство печи для дома
• Как обделать пластиковые окна внутри дома
• Установка обсадных коробок в деревянных домах

Пример расчета прогиба балки — ТехПорт

Содержание

1. Прочность и жесткость балки
2. Как рассчитывать прогиб для балки дома
3. Как вычислить вспомогательные величины
4. Пример подсчета прогиба
5. Способы выполнить расчет и проверку на прогиб
6. Методика выполнения расчета на прогиб
7. Вычисляем моменты инерции и сил
8. Формулы для практического использования
9. Заключение

Для строительства прочного, надежного и долговечного здания, нужно знать такой показатель, как прогиб балки (формула), то есть величину жесткости.

Данное направление изучается в таких науках (дисциплинах), как “Сопротивление материалов”, “Теория прочности”, “Механика строительная” и прочее.

Прочность и жесткость балки

Современные строительные технологии, применяемые для просчета стройконструкций, называемых также стержневыми, по качествам прочности и жесткости дают уникальную возможность на первом же этапе проектировки вычислить величину прогиба.

Кроме этого, можно, опираясь на рассчитанные данные, составить заключение о вероятности использования строительной конструкции.

Какой вопрос позволяет решать указанная далее формула для расчета жесткости? Данные, полученные таким путем, говорят о самых больших изменениях в геометрии детали, что могут возникнуть в строительной конструкции.

Несмотря на некоторую бюрократизацию методик для вычисления прогиба, используются опытные формулы, а если воздействие реальных нагрузок отличается от идеальных или усредненных, вопрос решается введением дополнительных коэффициентов для запаса прочности. Понятия «жесткость» и «прочность» связаны и абсолютно неразделимы.

Хотя некоторые различия все-таки есть. Но только в том случае, если рассматривать данные показатели в автомашинах. В стройконструкциях главное нарушение конструкции объектов случается потому, что снижаются или нивелируются полностью вопросы, связанные с запасом прочности, вследствие чего здания нельзя эксплуатировать.

Деревянные балки из древесины хвойных пород

На сегодня в таких предметах изучения, как «Сопромат» и другие, приняты 2 метода для расчета прочности и жесткости:

• Простой. При просчитывании показателей на основе этого метода используют увеличенный коэффициент.
• Точный. Тут используются не только коэффициенты, показывающие запас прочности, но также осуществляется вычисление пограничного состояния (какую нагрузку может выдержать балка).

Как рассчитывать прогиб для балки дома

Чтобы просчитать, подходит ли конкретная балка для строительства дома, нужно знать такие показатели:

• M – это тот максимальный момент, который возникает в балке, находящийся по эпюру моментов. Эпюр – это специальный чертеж с изображением пространственная фигура изображается на плоскости.
• W _{n, mіn} – момент сопротивления сечения (его значение находят по таблице).
• R_y – сопротивление, что оказывает материал, из которого изготовлен элемент конструкции дома, изгибаясь от нагрузки.
• У_c – дополнительный показатель (его можно найти в одной из многочисленных таблиц строительных нормативов).

Формула для расчета прогиба представляет из себя неравенство следующего вида (формула № 1):

Чтобы правильно применить формулу, нужно действовать так:

• Нарисовать схематично балку и ее будущее расположение под крышей дома. Чтобы верно изобразить на чертеже все части исследуемого объекта, нужно знать форму и линейные размеры балки, поперечного сечения, характер будущих нагрузок, материал, из которого балка изготовлена.
• Записать ее точные размеры.
• Рассчитать по указанной формуле, чему равно частное максимального момента балки к произведению остальных трех величин.
• Сравнить полученный результат с единицей: если он меньше или равен 1, то вычисления дают положительный ответ.

Зная значение параметров рассматриваемой балки и сил, действующих на нее, сделав нехитрые вычисления, можно быстро справится с задачей вычисления допустимого прогиба балки дома.

Как вычислить вспомогательные величины

Для получения полной информации о значениях, необходимых для достижения конечной цели вычислений, нужно узнать, каков момент сопротивление сечения (формула № 2):

Необходимо обязательно уитывать ориентирование рассматриваемого балочного сечения, так как с уменьшением моментов инерций жесткость балок снижается, чего допускать нельзя. Для выяснения максимального значения нагрузки f, которое может выдержать балка, надо вычислить его по такой формуле № 3:

f = (5 / 384) * [(q_n * L 4 ) / (E * J)] £ [¦], где

• L – продольный размер, в метрах
• E – коэффициент, показывающий упругость (для каждого материала или сплава он будет разным)
• J – момент инерции по сечению
• q_n – это нагрузка, равномерно-распространенная, выражается в кг/м или в Н/м

Показатель J рассчитывается так:

• b – диаметр сечений
• h – вертикальный размер сечения

Примером для сечений, величиной 15 на 20 сантиметров:

J = 0,15 * (0,2) 3 / 12 = 10 000 см 4 или 0,0001 м 4

Кроме указанных расчетных или табличных величин, среди важных факторов, которые нужно учитывать при определении максимальных нагрузок, выделяют такие: статические (которые действуют постоянно, независимо от переменных внешних факторов), периодические (действие ветра, вибрации, ударов).

Пример подсчета прогиба

Прогиб балки (формула, пример расчета) вычисляется так. Допустим, есть балка, для которой нужно рассчитать прогиб, с такими параметрами:

• Материал изготовления – дерево.
• Плотность 600 кг/м 3 .
• Длина балки L – 4 м, остальные размеры: 15 см х 20 см.
• Масса перекрывающих элементов – 60 кг/м².
• Максимальная нагрузка q равна 249 кг/м.
• E (насколько упруго дерево) – 100 000 кгс/ м².
• J балок – 10 кг*м².

Максимально допустимая нагрузка вычисляется с учетом веса не только балочной конструкции, но и перекрытия, а также опор.

Расчет на поперечный прогиб

Не лишним будет учесть тяжесть, которую будут оказывать люди или приборы, механизмы и другие тяжелые вещи, если вычисляется прогиб балок этажа дома. Нужны такие данные, как:

• Сколько весит один пог. метр рассматриваемой балки.
• Сколько весит каждый м 2 перекрытия.
• Какова временная нагрузка на перекрытие.
• Сколько составляет нагрузка от перегородок на 1 м 2 перекрытия.
• Каков коэфф. k (это промежуток, оставляемый между балками).

Чтобы упростить пример расчетов, принимают масс перекрытия за 60 кг/м², нормальную непостоянную нагрузку на каждое перекрытие – 250 кг/м², нагрузки от перегородок равными 75 кг/м², тяжесть части деревянных балок – 18 кг/погонный метр. Когда расстояние между перекрытиями равно составляет 600 мм, тогда коэффициент k равен 0,6. Подставляем в формулу все эти значения:

q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.

Изгибающий момент нужно вычислить по формуле №3, учитывая все указанные выше данные. Получается:

f = (5 / 384) * [(q_n * L 4 ) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 4 4 ) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.

Это – показатель уровня прогиба во время воздействия максимальной нагрузки. Что именно он обозначает? Получается, что менее, чем на один сантиметр прогнется балка при указанной максимальной нагрузке. После этого нужно сравнить полученный результат с единицей: 0,83 меньше 1.

При расчетах деформации важных строящегося здания используют указанные выше простые формулы. Прогиб балки по формуле СНиП является универсальным способом вычисления жесткости балок и величины их прогибания.

Как посчитать балку на изгиб — на видео:

Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

Для заданной балки двутаврового сечения ( = 210 МПа, Е = 2 х 10 5 МПа) и нагрузок требуется;

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. Определить нормальные и касательные напряжения в сечениях с наибольшим моментом и поперечной силой на расстоянии h/4 от нейтральной оси;

3. Определить прогиб конца балки точки В.

При построении эпюр Q и М необходимо соблюдать правило зна­ков. Положительное направление сил показано на схеме.

1. Определяем опорные реакции

2. Методом сечений определяем ординаты поперечной силы в характерных сечениях. Для этого балку разбиваем на два участка. Границы участков – места изменения нагрузки. Построение эпюры на­чинаем с правого свободного конца балки.

Максимум изгибавшего момента находится в сечении, где поперечная сила равна нулю. Положение этого сечения определяем из условия:

3. Методом сечений определяем изгибающие моменты в характерных сечениях и строим эпюру моментов. Экстремум в т. х = 2 м.

Наиболее нагруженным сечением в балке является сечение А у заделки, где М_max = 120 кН м, Q_mах = – 80 кН.

4. Из условий прочности по нормальным напряжениям определяем требуемый момент сопротивления сечения.

По сортаменту ГОСТ 8509-72 принимаем двутавр № 33.

Максимальные напряжения в опасном сечении будут равны

5. Определяем нормальное напряжение в точке Е сечения на расстоянии h/4 = 8,25 см от нейтральной оси (рис. 4.9.).

Для определения касательного напряжения в точке Е вычислим статический момент отсеченной выше точки Е площади относительно центральной оси Х.

6. Определяем прогиб балки в точке В, используя универсаль­ное уравнение прогибов

Для заданной консольной балки граничные условия будут: угол поворота сечения А ; прогиб сечения А

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 9825 – | 7406 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е – справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M_max = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Заключение

Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Расчет металлической балки перекрытия на прогиб и на жесткость

Металлические балки двутавровые

Кроме повсеместно ведущегося строительства многоэтажных зданий с большим числом квартир, широкое распространение получило сооружение частных домов, причем не только небольших одноэтажных, но и довольно крупных, с двумя и более этажами, иногда и с мансардой наверху или обитаемым чердаком. Для таких домов уже не подходит каркасный метод; материалом часто служит, вместо дерева, кирпич или железобетон. Возведение крупных частных домов должно вестись по всем правилам строительной науки, так как ошибки при проектировании или воплощении проекта могут привести к нежелательным последствиям.

Если строящийся дом представляет собой капитальное здание – из бетона, кирпича, шлакоблока, то для потолочных перекрытий, межэтажных и чердачных, целесообразно применить железобетонные плиты. Наиболее подходящий тип каркаса, способный выдержать вес таких перекрытий, – это каркас, элементом которого является металлическая балка двутаврового профиля.

Именно этот вид проката, установленный своей стенкой вертикально, обладает наибольшей несущей способностью. Естественно, фундамент и стены дома при этом должны быть достаточной прочности, чтобы выдерживать дополнительный вес от 0,5 до 1 тонны – столько металла, в зависимости от количества балок и номера профиля может понадобиться для потолочного перекрытия.

Чтобы избежать лишних затрат и лишнего веса каркаса потолка, а также не допустить обрушения или значительного прогиба балок, необходимо заранее рассчитать их параметры и по результатам расчета подобрать нужный прокат. Расчет сводится к вычислению следующих величин: требуемого момента сопротивления и минимального момента инерции сечения балки, а исходя из последнего – максимального относительного прогиба.

Примечание Расчет ведется по двум характеристикам – на прочность и на жесткость. По полученным значениям момента сопротивления и момента инерции в таблицах ГОСТ находят требуемый номер проката.

Исходные данные для расчетов

Для каркаса потолочных перекрытий малогабаритных частных домов обычно используется двутавр 10 – 20 номеров. Характеристики этих профилей приводятся в ГОСТ 8239-72 – их линейные размеры, площади сечения, максимальные моменты сопротивления по вертикали Wy и минимальные моменты инерции Jy.

Необходимо знать тип плит, которые будут опираться на балочный каркас, а также размеры несущего периметра дома. Можно применить пустотные железобетонные плиты ПК-12-10-8 (1180 х 990 мм, масса 380 кг), а размеры дома взять 4,5 х 6 м. Балки укладываются вдоль короткой стены; шаг укладки при таком размере плит равен 1000 мм (стыки плит совпадают с продольными осями балок, при минимальном зазоре 1 см). Это потребуется для расчета распределенной нагрузки, и исходя из нее – линейной нагрузки на балку, вес самой балки по сравнению с распределенной нагрузкой мал, и при вычислении линейной нагрузки им можно пренебречь.

Распределенная нагрузка при таком типе плит будет равна 325 кгс / м2. К этому надо добавить нагрузку возможных перегородок на верхней стороне перекрытия (75 кгс / м2) и возможную временную нагрузку (200 кгс / м2). В итоге нагрузка, распределенная по площади:

Q = 325 + 75 + 200 = 600 кгс / м2,

а линейная нагрузка

q = Q * p = 600 кгс / м = 6 кгс / см.

Эта величина используется в дальнейших расчетах.

О качестве и прочности деревянных балок перекрытия

Проектировщики в расчётах балок перекрытия закладывают стройматериалы с заданными характеристиками и нормами эксплуатации, опираясь на законы прикладной механики и сопромата. Зная это, возникает вопрос: как обходились без этих знаний строители индивидуальных домов лет сто назад? При этом построенные ими дома здравствуют и поныне.

Объяснение простое: они оставляли намного больший запас прочности используемым материалам. Чуть позже, советские ГОСТы сознательно рассчитывались и утверждались с большими, иногда до 100% запасами прочности. Это неэкономно, иногда громоздко и вычурно, но надёжность была в приоритете, и всегда останется важнейшим показателем в строительстве. Сегодня подобная практика заменяется точным расчетом деревянной балки — это позволяет не переплачивать за излишнюю, невостребованную прочность.

Сравнение со старыми способами выглядело бы неуместно в описании балок перекрытий, если бы не одно обстоятельство.

Покупая на рынке брус или балку определённого размера, с предварительно рассчитанными характеристиками, частный застройщик без большого опыта зачастую приобретает не тот материал, который гарантирует надёжность.

Множество на первый взгляд незначительных нюансов могут свести на нет все расчёты:

• большая влажность;
• безответственное хранение;
• скрытые дефекты;
• пересортица;
• плохие линейные геометрические параметры;
• заранее обусловленные болезни древесины.

Вывод и выход здесь один: рынок всегда попытается обмануть начинающего строителя, поэтому лучший способ сэкономить — это доверить работу профессионалу.

Расчет на прогиб

Изгибающий момент для каждой балки вычисляется, исходя из величины линейной нагрузки q, шага укладки балок p и длины перекрываемого пролета L. Так как балки укладываются вдоль короткой стороны, то L = 4,5 м = 450 см (конечно, сами балки длиннее – около 5 м, так как опираются на стены, но шарнирными опорами для них служат именно внутренние края стен).

Искомая величина момента, в таком случае:

My = (q * L2) / 8 = 6 * 4502 / 8 = 151875 кгс * см.

Максимальный момент сопротивления сечения балки можно рассчитать, разделив изгибающий момент на расчетное сопротивление стали – например, марки С235, равное 2150 кгс / см2:

Wy = 151875 / 2150 = 70,6 см3.

Это полученное значение надо сравнить с величиной момента сопротивления сечения двутавровой балки. Из таблицы ГОСТ 8239-72 видно, что вычисленный показатель примерно соответствует (с запасом) моменту сопротивления для профиля 14 (81,7 см3). Следовательно, этот номер проката будет удовлетворять требованиям к прочности балок.

Балки металлические: традиционная надёжность

Когда у застройщика возникает возможность и запрос на более амбициозное и габаритное строительство, он применяет металлические балки перекрытия различного сечения: уголок с разными размерами полок, швеллер, тавр, двутавр. Если исключить возможность коррозии металла, то по прочности таким балкам нет замены. Но применение металла в индивидуальном жилищном строительстве ограничено и ещё рядом показателей:

• с металлом тяжело работать на высоте;
• необходимы специальные механизмы для монтажа;
• сварка, резка металла и защита его от коррозии – это дополнительные расходы;
• высокая стоимость материала;
• балки металлические подлежат утеплению со стороны чердака.

Есть у металлических балок и положительные моменты:

• они не горят;
• долговечнее;
• металлические пролёты можно устраивать длиннее и расстояние между балками перекрытия делать больше;
• виды балок металлических отличаются большим разнообразием и позволяют создавать практически любые по сложности конструкции.

Расчет металлической балки в любом случае лучше доверить профессионалам.

Это может быть интересно!

В статье по следующей ссылке читайте про плоскую крышу в частном доме.

Расчет на жесткость

Жесткость балок характеризуется максимальной величиной прогиба при заданных исходных параметрах. В случае распределенной нагрузки прогиб вычисляется по формуле:

f = 5 * q * L4 / (384 * E * Jy), где

• q – линейная нагрузка на балку;
• L – длина пролета;
• E – модуль упругости материала, для стали С235 равный 2,1 * 106 кгс / см2;
• Jy – минимальный момент инерции для данного профиля.

Для принятых ранее исходных данных, с учетом того, что из расчета на прочность наиболее подходящим профилем оказался № 14, для которого Jy, по табличным значениям ГОСТ, равен 572 см4, можно получить:

f = 2,6 см,

а в относительной мере, с учетом того, что длина пролета 450 см – 1 / 172. Это превышает максимально допустимый прогиб, принятый равным 1 / 250.

Поэтому расчет приходится повторить и вычислить прогиб для другого номера проката. Для № 16, у которого момент инерции равен 873 см4, абсолютный прогиб получается 1,74 см, а относительный – 1 / 256, что является приемлемым.

Выбор нужного двутавра

А знаете ли вы, что, благодаря своей особой Н-образной форме, металлический двутавр является универсальным металлопрокатом, так как обладает повышенной степенью прочности и надежности. Двутавровые балки способны выдерживать существенные динамические и статические нагрузки и широко применяется при возведении строений в качестве вертикальных опор и горизонтальных перекрытий.

Классификация двутавровых балок по ГОСТу

Двутавровые балки классифицируются по ГОСТам на основе теоретических и экспериментальных исследований. Благодаря исследованиям выявляют наиболее востребованные фасонные профили.

Например, зная, что с возрастанием ширины пролета необходимо увеличение высоты стальных балок, мы можем высчитать двутавр, который обеспечит необходимую прочность строения.

Классический двутавр с уклоном внутренних граней полок 6-12% (ГОСТ 8239-89) применяют главным образом в качестве элементов, работающих на изгиб, а также в составных сечениях колонн.

Помните, что балки выбирают по номерам, соответствующим высоте профиля в сантиметрах.

Теперь посмотрим на типоразмеры двутавров с параллельными гранями полок (ГОСТ 26020-83, СТО АСЧМ 20-93):

Типовые схемы расположения двутавра

При проведении расчетов для нас важен будет исходный параметр, то есть мне важно знать, как выглядит балка и как крепится. Большинство вариантов сводится к основным схемам:

Итоги расчета

Итак, для помещения размером 4,5 х 6 м каркас потолочного перекрытия из железобетонных плит ПК-12-10-8 с распределенной нагрузкой 600 кгс / м2 может быть устроен из двутавровых балок профиля № 16 стали марки С235, расположенных вдоль короткой стороны с шагом 1 м. Можно рассчитать, что для такого здания понадобится 7 таких балок длиной по 5 м, и, зная массу и цену погонного метра, вычислить общую массу балочного каркаса и его стоимость.

Так, для приведенного примера общее количество погонных метров – 35; масса балочного каркаса из профиля № 16 – 525 кг.

Общая информация по методологии расчёта

В большинстве случаев в малоэтажном строительстве применяются однопролётные балки.

Они могут быть в виде брёвен, досок или брусьев. Длина элементов может варьироваться в большом диапазоне. В большинстве случаев она напрямую зависит от параметров строения, которые вы собираетесь возвести.

Внимание! Представленный в конце странички калькулятор расчета балок на прогиб позволит вам просчитать все значения с минимальными затратами времени. Чтобы воспользоваться программой, достаточно ввести базовые данные

Роль несущих элементов в конструкции выполняют деревянные бруски, высота сечения которых составляет от 140 до 250 мм, толщина лежит в диапазоне 55—155 мм. Это наиболее часто используемые параметры при расчёте несущей способности деревянных балок.

Очень часто профессиональные строители для того чтобы усилить конструкцию используют перекрёстную схему монтажа балок. Именно эта методика даёт наилучший результат при минимальных затратах времени и материалов.

Если рассматривать длину оптимального пролёта при расчёте несущей способности деревянных балок, то лучше всего ограничить фантазию архитектора в диапазоне от двух с половиной до четырёх метров.

Внимание! Лучшим сечением для деревянных балок считается площадь, у которой высота и ширина соотносятся как 1,5 к 1

Варианты перекрытия для разных помещений

В зависимости от типа помещения деревянные перекрытия могут иметь разное строение. Всего возможно три варианта:

• для цокольных перекрытий, где характерна разность температур и повышенная влажность, требуется применение пароизоляции, повышенного слоя теплоизоляции и специальной отражающей плёнки или фольги;
• для межэтажных перекрытий, которым свойственна более простая структура, в связи с равномерным температурным режимом и стабильным уровнем влажности обязательно необходима шумоизоляция;
• для чердачных перекрытий, если они не отапливаются, используется такое же наполнение, как и для цокольных, с тем отличием, что расположение изоляторов происходит в обратном порядке из-за направления действия холода.

Более подробно о строении разных перекрытий будет написано ниже.

Как рассчитать прогиб балки — Полное руководство

Доктор Шон Кэрролл

|

Обновлено: 12 июля 2022 г.

|

Учебник

В этом руководстве вы узнаете, как рассчитать прогиб балки из первых принципов, используя дифференциальное уравнение кривой прогиба . Мы рассмотрим несколько методов расчета, в том числе метод Маколея , который значительно ускоряет процесс расчета. Мы рассмотрим пару числовых примеров, прежде чем обсуждать, как мы можем использовать принцип суперпозиции и табличные формулы, чтобы еще больше ускорить процесс.

Приведенное ниже оглавление даст вам представление о том, что мы рассмотрим, но это руководство в основном разделено на 3 части:

1. Расчет прогиба балки путем интегрирования дифференциального уравнения кривой прогиба
2. Ускорение этого процесса с помощью умной техники, называемой методом Маколея
3. Самый практичный (и самый быстрый) подход, использующий табличные формулы и суперпозицию

В этом руководстве много всего, так что дайте себе достаточно времени, чтобы разобраться с ним. После завершения вы будете знать почти все, что вам нужно для расчета отклонения балки и отклоненных форм. Если вы попали на этот пост и сразу после таблица формул прогиба балки , ознакомьтесь с таблицей внизу страницы.

• 1.0 Дифференциальное уравнение кривой отклонения
  • 1.1. «Маленькое отклонение». Предположение
  • 1.2. Линейно эластичное предположение
• 2,0 Определение уравнения изгибающего момента
  • 2.1. Момент в области 2
  • 2.3 Внутренний изгибающий момент в области 3
• 3.0 Интеграция дифференциального уравнения кривой отклонения
  • 3.1. Нахождение константы интеграции
• 4.0 Отклонение балки. Расчет отклонения балки вверх по методу Маколея
  • 5.1 Как помогает метод Маколея?
• 6.0 Прогиб балки – метод Маколея Пример
  • 6.1 Шаг 1: Настройка подконструкции
  • 6.2 Шаг 2: Построение выражения для с функциями сингулярности
  • 6. 3 Шаг 3: Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба
  • 6.4 Шаг 4: Применение граничных условий и поиск констант интегрирования
• 7.0 Построение отклоненной формы
• 8.0 Пример жесткого прогиба балки – метод Маколея с частичными UDL и точечными моментами
  • 8.1 Реакции балки
  • 8.2 Метод Маколи и загрузка патча
  • 8.3 Метод Маколи и точечные моменты
  • 8.4 Построить выражение для функций сингулярности и интегрировать
  • 8.5. для расчета прогиба балки
    • 9.1 Равномерно распределенная нагрузка
    • 9.2 Точечная нагрузка #1
    • 9.3 Точечная нагрузка #2
  • Автор
  • Доктор Шон Кэрролл

  1.0 Дифференциальное уравнение кривой прогиба

  Дифференциальное уравнение кривой прогиба используется для описания поведения на изгиб, поэтому оно возникает при изучении изгиба балки и потери устойчивости колонны. Уравнение просто описывает форму кривой прогиба элемента конструкции, подвергающегося изгибу. Итак, если измеряется расстояние вдоль балки и представляет собой отклонение балки, уравнение говорит:

  (1)  

  где — изгибная жесткость балки и описывает изгибающий момент в балке как функцию . В этом уроке мы не будем вдаваться в вывод уравнения, а сосредоточимся на его применении.

  Наша цель состоит в том, чтобы использовать это уравнение для расчета отклонения балки, поэтому нам нужно дважды проинтегрировать уравнение, чтобы получить выражение для . Лучший способ разобраться с этим — рассмотреть пример.

  1.1 Допущение о «малом отклонении»

  Прежде чем мы приступим к рассмотрению приведенного ниже примера, нам необходимо сформулировать предположения, на которых основан наш анализ. Во-первых, это так называемое предположение о «малом отклонении». Чтобы получить уравнение 1, мы сделали предположение, что прогиб нашей балки (или любой отклоняющейся конструкции, к которой мы применяем это уравнение) мал. Другими словами, если мы рассматриваем короткую изогнутую длину нашей балки, подвергающуюся отклонению, кривая длина должна быть приблизительно равна ее проекции длины на горизонтальную плоскость, .

  Мы также должны предположить, что в любой точке вдоль нашей балки поворот балки достаточно мал, чтобы можно было сказать , т. е. угол поворота в точке примерно равен наклону кривой отклонения. В большинстве практических случаев отклонение является проблемой удобства эксплуатации, и мы ожидаем, что оно будет относительно небольшим и практически незаметным невооруженным глазом. Таким образом, это предположение о малом отклонении выполняется в большинстве случаев, но вы должны знать о его существовании.

  1.2 Предположение о линейной упругости

  Чтобы вывести уравнение 1, также предполагалось, что материал, из которого сделана балка, является линейно-упругим и, следовательно, подчиняется закону Гука. Это должно быть так, потому что мы полагаемся на тот факт, что кривизна балки пропорциональна соответствующему изгибающему моменту. Это важно помнить, потому что наши уравнения прогиба станут неточными для пластических деформаций, что, вероятно, также сделает недействительным наше предположение о малом прогибе. Теперь, когда мы знаем границы, в которых мы работаем, мы можем использовать пример.

  2.0 Уравнения для определения изгибающего момента

  Рассмотрим свободно опертую балку на рис. 1 ниже. На балку действуют две точечные нагрузки и равномерно распределенная нагрузка. Наша задача – определить средний прогиб и максимальный прогиб. Обратите внимание, что поскольку балка нагружена несимметрично, максимальный прогиб не должен происходить в середине пролета. Статический анализ балки выявляет опорные реакции при и ,

     

  Рис. 1. Свободно опертая балка.

  Снова взглянув на дифференциальное уравнение кривой прогиба, мы видим, что нам нужны выражения, описывающие изгибающий момент как функцию от . Глядя здесь на нагрузку, отметим, что диаграмма изгибающих моментов не будет описываться одной непрерывной функцией. Наличие двух точечных нагрузок означает, что нам действительно понадобятся три уравнения, чтобы полностью описать, как изгибающий момент изменяется вдоль балки; Итак, будем рассматривать луч как три разные области:

  • Область 1:
  • Район 2:
  • Район 3:

  где измеряется слева направо с исходной точкой в ​​позиции . Уравнения для получаются путем выполнения разрезов в конструкции для выявления внутреннего изгибающего момента, а затем оценки внутреннего изгибающего момента как функции с учетом моментного равновесия подконструкции. Если вы не уверены в чем-то из этого, ознакомьтесь с этой статьей о диаграммах сдвига и момента для освежения знаний.

  2.1 Внутренний изгибающий момент в области 1

  Чтобы оценить внутренний изгибающий момент в области 1, мы разрезаем конструкцию в этой области, чтобы выявить изгибающий момент. Наш разрез сделан на расстоянии справа от опоры , рис. 2.

  Рис. 2. Каркас, созданный воображаемым разрезом, сделанным в области 1. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области, .

  Теперь мы знаем, что подконструкция находится в равновесии под действием внутреннего сдвига (не показано) и внутреннего изгибающего момента. Таким образом, мы можем оценить момент равновесия, чтобы определить выражение для .

     

     

  (2)  

  Помните, что это уравнение справедливо для значений для .

  2.2 Внутренний изгибающий момент в области 2

  Теперь мы можем повторить процесс, чтобы определить соответствующее уравнение для области 2. На рис. 3 показана подконструкция, созданная разрезом для выявления внутреннего изгибающего момента.

  Рис. 3. Каркас, созданный воображаемым разрезом в области 2. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области, .

  Вычисляя сумму моментов относительно разреза, как указано выше,

     

     

  (3)  

  Еще раз отметим, что это уравнение справедливо для .

  2.3 Внутренний изгибающий момент в области 3

  Наконец, мы можем составить соответствующее уравнение для области 3, рис. 4 ниже.

  Рис. 4. Каркас, созданный воображаемым разрезом, сделанным в области 3. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области, .

  Оценка момента равновесия подконструкции,

     

     

  (4)  

  И снова для полноты отметим, что это уравнение справедливо только для .

  3.0 Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба

  Теперь, когда мы установили, как изменяется изгибающий момент, мы можем подставить соответствующие выражения для в дифференциальное уравнение и выполнить интегрирование. После подстановки наших выражений в уравнение 1 мы имеем

  (5)  

  (6)

  (7)

  Интегрирование каждого выражения дает . Заметим также, что теперь у нас есть член в наших уравнениях, который соответствует наклону кривой прогиба. Нам нужно выполнить еще одно интегрирование, чтобы свести это обратно к самому смещению, . Это интегрирование дает

  (11)  

  (12)  

  (13)  

  Снова мы можем видеть, что это интегрирование дало нам еще 3 константы интегрирования, , и . Всего у нас есть шесть неизвестных констант, которые нам нужно идентифицировать. Хорошая новость заключается в том, что теперь у нас наконец есть уравнение для отклонения в каждой области.

  3.1 Нахождение констант интегрирования

  Чтобы найти константы интегрирования, нам нужны некоторые условия или ограничения, которые мы можем представить в виде уравнения. Поскольку у нас есть шесть неизвестных для решения, нам понадобится 6 уравнений ограничений. Они следующие:

  1. at , уклоны , в районах 1 и 2 одинаковы.
  2. при , прогибы , в областях 1 и 2 одинаковы.
  3. в , наклоны в областях 2 и 3 одинаковы.
  4. при , прогибы , в областях 2 и 3 одинаковы.
  5. в (опора А) прогиб равен нулю.
  6. в (опора D), прогиб равен нулю.

  Первые четыре условия называются условиями непрерывности и являются прямым следствием того факта, что балка и, следовательно, прогибы и уклоны являются непрерывными. Последние два являются классическими граничными условиями. Теперь мы можем использовать эти утверждения для построения шести уравнений, из которых можно определить константы интегрирования.

  Условие (1)

  При наклоны в областях 1 и 2 одинаковы. Поэтому мы можем приравнять уравнения 8 и 9 и подставить в .

     

  (14)  

  Условие (2)

  При прогибы , в областях 1 и 2 одинаковы. Таким образом, приравнивая уравнения 11 и 12 к , мы получаем0003

     

  (16)  

  Условие (4)

  При прогибы , в областях 2 и 3 одинаковы. Приравнивая уравнения 12 и 13 к ,

     

  (17)  

  Условие (5)

  Пятое условие является стандартным граничным условием; при отклонении равен нулю. Таким образом, мы можем положить уравнение 11 равным нулю с ,

     

  (18)  

  Условие (6)

  Последнее условие относится к другой границе; при прогибе также равен нулю. Таким образом, применяя это к уравнению 13 с дает,

     

  (19)  

  Теперь, когда у нас есть шесть уравнений, нам нужно использовать их для нахождения неизвестных констант. Безусловно, самый простой способ сделать это — расположить их в матричной форме и решить систему, обратив матрицу коэффициентов. Матричное представление системы:

  (20)  

  Вектор неизвестных констант получается как

  (21)  

  На этом этапе нам нужен способ инвертировать матрицу, и поскольку это матрица, мы вручную это не сделаешь! Я буду использовать следующий код Python для выполнения операции в уравнении 21.

  1 2 3 4 5 6 7 8 10 110003 12 13 14 1993 160003 13 14 9000. 9000 3 13 14 9000 3

  import numpy as np #Numpy для работы с массивами   #Определить каждую строку матрицы коэффициентов , -3, 0, 1, -1, 0] строка3 = [0, 1, -1, 0, 0, 0,] строка4 = [0, 6, -6, 0, 1, -1] строка5 = [0, 0, 0, 1 , 0, 0] row6 = [0, 0, 8, 0, 0, 1]   A = np.mat([row1,row2,row3,row4,row5,row6]) # Определить матрицу коэффициен

  Если вы хотите установить Python на свой компьютер, вы можете прочитать эту лекцию. Это поможет вам настроить удобную среду кодирования Python. Предполагая, что вы сделали это или у вас есть собственный способ инвертирования матриц, константы оцениваются как 9. 0003

     

  4.0 Расчет прогиба балки

  На этом этапе мы можем обобщить три уравнения, которые описывают прогиб в трех областях нашей балки:

  (22)  

  (23)  

  910 3

  (204) прогиб балки

  Чтобы рассчитать прогиб балки в середине пролета, мы подставляем в уравнение 23, что дает нам

     

     

  лучшее ощущение искривленной формы. На рис. 5 ниже показан график внутреннего изгибающего момента и отклоненной формы. Обратите внимание, что по оси Y отклонение является функцией .

  Рис. 5. Свободно опертая балка, график изгибающего момента и график искривленной формы.

  4.2 Расположение максимального прогиба балки

  Из рис. 5 выше видно, что, несмотря на несимметричную нагрузку, максимальный прогиб происходит очень близко к середине пролета. Мы можем подтвердить точное местоположение максимального прогиба, признав, что в этом месте наклон кривой прогиба равен нулю. Другими словами, касательная к кривой прогиба в точке максимального прогиба будет горизонтальной и, следовательно, будет иметь нулевой наклон.

  Из проверки мы знаем, что максимальное отклонение происходит в области 2. Но давайте предположим, что мы этого не знали. Мы можем приравнять каждое уравнение для наклона кривой прогиба, уравнения 8, 9 и 10 к нулю, и найти корни каждого уравнения, то есть значения x, при которых наклон равен нулю. Я позволю Python сделать здесь ручную работу…

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

  #Определить полиномы p1 = np.poly1d([-10/3, 139,375/2, 0, -856,354]) #Region 1 p2 = np.poly1d([-64,37, 5 /2, 225, -1193.854]) #Регион 2 p3 = np.poly1d([-10/3, 14.375/2, 525, -2093.854]) #Регион 3   #Извлечь корень 23 23 = p1.r #Регион 1 rootRegion2 = p2.r #Регион 2 rootRegion3 = p3.r #Регион 3

  Корни,

     

  Значения, выходящие за границы соответствующего региона, могут быть немедленно отброшены. Это выходит только в районе 2. Как мы и подозревали, это очень близко к середине пролета. Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение 12, чтобы подтвердить значение максимального отклонения, но, поскольку мы уже рассчитали отклонение при , мы не будем этого делать.

  5.0 Ускорение расчетов прогиба балки с помощью метода Маколея

  Вы, наверное, согласитесь, что процесс расчета до этого момента был довольно трудоемким. Мы можем значительно ускорить весь процесс, используя метод, называемый методом Маколея . Он также известен как метод функции сингулярности , и мы рассмотрим его далее.

  Мы видели, что основной процесс расчета прогиба балки включает в себя вычисление выражения для изгибающего момента как функции координаты вдоль балки. Мы можем подставить это выражение в дифференциальное уравнение кривой прогиба и выполнить двойное интегрирование, чтобы получить решение в замкнутой форме (уравнение) для прогиба как функции .

  Теперь, поскольку наша диаграмма изгибающего момента не является непрерывной функцией , нам нужно разбить нашу диаграмму изгибающего момента на сегменты, где каждый сегмент определяется одной непрерывной функцией. Двойное интегрирование, необходимое для каждого сегмента, дало две неизвестные константы интегрирования. Все это было прекрасно решаемо, но процесс, как правило, очень утомительный для всего, кроме очень простой загрузки.

  5.1 Как помогает метод Маколея?

  Здесь на помощь приходит метод Маколея. Я набросаю здесь заголовки — но это действительно будет иметь смысл только тогда, когда мы будем работать с примером в следующем разделе — так что не беспокойтесь, если последующее заставит вас почесать голову! Метод Маколея на самом деле является просто альтернативным методом или процессом, который мы можем использовать для оценки дифференциального уравнения кривой отклонения. Метод работает путем введения функции сингулярности (отсюда и альтернативное название), которая позволяет нам не принимать во внимание или игнорировать определенные члены в функции изгибающего момента.

  Таким образом, вместо того, чтобы строить три различные функции для изгибающего момента в приведенном выше вопросе, мы могли бы построить одно уравнение для разрезания балки между C и D, тем самым зафиксировав влияние момента всех нагрузок на конструкцию. «Хитрость», которую вводит метод Маколея, заключается в том, что мы умножаем каждый член уравнения изгибающего момента на функцию сингулярности (будет иметь больше смысла ниже), которую мы принимаем равной нулю, когда она имеет значение меньше единицы. То, как мы это реализуем, позволяет нам разумно исключить члены из уравнения моментов, когда мы оцениваем участки балки, где эти члены не имеют значения.

  Например, если мы разрезаем балку выше между B и C и рассматриваем равновесие подконструкции слева от разреза, точечная нагрузка будет учитываться в уравнении момента, но не будет. Метод Маколея просто позволяет нам построить одно уравнение моментов и исключить все нерелевантные члены. Этот метод приводит к тому, что мы выполняем двойное интегрирование в одном уравнении (а не в трех), что дает только две неизвестные константы интегрирования, что значительно снижает нашу рабочую нагрузку. В следующем разделе мы конкретизируем эту идею на примере.

  6.0 Прогиб балки – пример метода Маколея

  Чтобы продемонстрировать преимущества метода Маколея, давайте начнем с повторного анализа балки. Мы разобьем процесс на отдельные повторяющиеся шаги, которые вы сможете воспроизвести на других лучах.

  6.1 Шаг 1: Настройка основания

  Нам необходимо составить уравнение, описывающее внутренний изгибающий момент как функцию от . Для этого делаем разрез в конструкции на некотором расстоянии справа от левой опоры. Мы будем рассматривать крайний левый конец луча как начало нашей оси X.

  Применяя метод Маколея, мы удостоверяемся, что разрезаем конструкцию в месте, которое позволяет нам учитывать все действия (приложенные силы и моменты) слева от разреза. Обычно это означает выполнение разреза на бесконечно малом расстоянии слева от правого конца балки. Обращая внимание на моменты разреза, обратите внимание, что все члены нашего рычага содержат . Это очень важно, поскольку эти члены плеча рычага будут рассматриваться как наши функции сингулярности.

  Рис. 6: Подструктура для анализа по методу Маколея

  6.2 Шаг 2. Построение выражения для с функциями сингулярности

  Взяв моменты относительно разреза и вспомнив вертикальную реакцию в точке A, которая ранее была определена как , получим следующее выражение для , 

  (25)  

  Обратите особое внимание на слагаемые в квадратных скобках — это наши функции сингулярности. Метод Маколея гласит, что когда термины в скобках оцениваются как отрицательное число, мы рассматриваем член в скобках как ноль. Подумайте об этом на минуту – что это на самом деле говорит? Представьте, что мы делаем разрез в конструкции в точке, чтобы определить внутренний изгибающий момент в этом месте, принимая во внимание равновесие подконструкции слева от разреза. Естественно, в этом уравнении не будет фигурировать сила в точке С. «Правило», которое мы только что внедрили, подходит для этого, поскольку функция сингулярности для силы будет оцениваться как и, согласно методу Маколея, это будет исключено из уравнения! Следовательно, применив метод Маколея к моментному выражению, мы получим

  (26)  

  (27)  

  Вы можете думать о том, что мы сделали до сих пор, как построить наиболее полное выражение для внутреннего изгибающего момента, а затем реализовать правило, которое позволяет нам исключать члены из выражения по мере необходимости .

  6.3 Шаг 3: Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба

  Теперь мы можем подставить наше выражение для внутреннего изгибающего момента вместе с функциями сингулярности (которые на самом деле являются просто выражениями плеча рычага) в дифференциальное уравнение кривой прогиба и интегрируем уравнение.

  (28)  

  Прежде чем интегрировать, обратите внимание, что мы сохраняем функции сингулярности нетронутыми, а не расширяем их и не умножаем на члены слева от скобок. После двойного интегрирования получаем

  (29)

  (30)

  , где и — константы интегрирования.

  6.4 Шаг 4: Примените граничные условия и найдите константы интегрирования

  Теперь мы можем применить наши граничные условия обычным способом для определения неизвестных констант и .

  Граничное условие 1:

  При прогибе . Заметим, что при , все наши функции сингулярности либо становятся нулевыми, либо отрицательными, что в соответствии с методом Маколея мы рассматриваем как ноль,

  (31)  

  Следовательно, .

  Граничное условие 2: 

  При , . Это граничное условие дает,

  (32)  

  Так как , мы заканчиваем с . Поэтому наше окончательное уравнение для отклонения принимает вид

  (33)  

  По сути, это означает конец процесса, и теперь мы можем использовать наше уравнение для оценки прогиба по мере необходимости. Так, например, давайте рассмотрим прогиб в середине пролета в точке . Подстановка в наше уравнение и наблюдение за методом Маколея исключения членов, где функция сингулярности имеет отрицательное значение, даст

  (34)

  (35)

  (36)

  Мы можем подтвердить, что это то же самое значение, которое мы получили в нашем первом анализе. Однако нам нужно было только проинтегрировать одно уравнение и вычислить две неизвестные константы интегрирования. На этот раз процесс пошел намного быстрее. В двух словах, это метод Маколея — по сути, мы по-прежнему интегрируем дифференциальное уравнение кривой отклонения, просто делаем это немного умнее.

  7.0 Построение отклоненной формы

  Когда мы получим уравнение для отклонения, отличным следующим шагом будет построение уравнения и визуализация отклоненной формы балки. Мы можем написать простой алгоритм для достижения этого. Я буду использовать Python внутри блокнота Jupyter, но вы можете использовать любой язык, который вам удобен. Если вы новичок в Python, взгляните на этот проект, который поможет вам приступить к работе практически без опыта.

  Первое, что я делаю в пустой записной книжке Jupyter, — импортирую несколько пакетов, чтобы получить дополнительные функциональные возможности. В строке 2 ниже я импортирую Numpy, чтобы помочь мне работать с массивами чисел, а в строках 3-5 я импортирую Plotly, графическую библиотеку, которая помогает мне создавать красивые графики.

  1 2 3 4 5 6

  import plotly as np #Numpy для работы с массивами import plotly as py #Import Plotly import plotly. graph_objs as go #импорт объектов графика построение графиков (внутри блокнота Jupyter)

  После этих предварительных действий мы можем перейти к ядру кода. В строках 3-6 ниже мы устанавливаем диапазон x-координат по длине луча. В строке 10 мы инициализируем контейнер для хранения значения отклонения по каждой координате x, а в строке 11 мы устанавливаем для цикла для циклического прохождения каждой координаты x и вычисления значения отклонения в каждой точке.

  Мы разделили выражение для отклонения на разные части, что позволяет нам использовать , если условия , чтобы проверить, делает ли текущее значение функцию сингулярности нулевой или нет. Таким образом, мы реализуем метод Маколея и учитываем только соответствующие части уравнения отклонения для каждого положения на балке.

  После выполнения всех наших тестовых условий и построения нашего отклонения для текущего местоположения мы сохраняем это значение в строке 39. и перейти к следующему x-местоположению со следующей итерацией нашего цикла for и повторить процесс снова и снова.

  1 2 3 4 5 6 7 8 10 110003 12 13 14 1999 009 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 3 9000 2 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 2 14 9000 3 9000 2 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

  #Значения по умолчанию и инициализация span = 8 divs = 10000 #Разделить диапазон на это число точек данных delta = span/divs #Расстояние между точками данных X = np. arange(0,span + delta,delta) #Диапазон координат x EI = 1   #Пройтись по конструкции и вычислить прогиб в каждой точке Прогиб = np.zeros (len(X))  #Инициализируйте контейнер для хранения всех отклонений for i, x in enumerate(X):         deflection = 0       #Term 1, 3 и 5 x 3 : 0 0 0 if > 0 0 0 if > 0 002           #Реакция         дельта = (139.375/6)*x ** 3 отклонение = отклонение + Delta #UDL Delta = -(20/24)*x ** 4 отклонение = отклонение + Дельта # C1 DELTA = -856,4*x отклонение = отклонение + Delta #термин 2 -75 кв. 3)**3         прогиб = прогиб + дельта #термин 4 -50 кН точечная нагрузка , если X -6> 0: Delta = -(50/6)*(X -6) ** 3 отклонение = отклонение + Delta     #Сохранить отклонение для этого местоположения     Отклонение[i] = отклонение/EI

  Теперь, когда мы вычислили массив значений отклонения для каждой позиции вдоль балки, мы можем использовать Plotly для их визуализации. Приведенный ниже код является довольно стандартным кодом построения графиков для Plotly. Вы можете использовать любую программу или библиотеку для визуализации отклонения; все, что вы делаете, это строите диапазон значений x и y. Я включаю код ниже больше для полноты, чем что-либо еще.

  1 2 3 4 5 6 7 8 10 110003 12 13 14 1999 0001 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 3 9000 2 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 2 9000 3 9000 3 9000 3 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

  #Определить объект макета layout = go.Layout(     title={‘текст’: «Отклонение»},     yaxis = dict(title=’Отклонение/EI (m)’),     xaxis = dict (title = ‘distance (m)’), showlegend = false ) #define строка отклонения Line = go. scatter ( x = x, y = отклонение, отклонение     mode=’lines’,     name=’Deflection’ )   #Определить горизонтальную линию для представления конструкции . )

  Рис. 7: Прогиб балки, полученный по методу Маколея.

  Несмотря на то, что я использовал две разные библиотеки построения графиков для построения графика отклонения по каждому анализу, мы все же можем сравнить рисунки 5 и 7, чтобы убедиться, что мы достигли одного и того же результата.

  8.0 Пример жесткого прогиба балки – метод Маколея с частичными UDL и точечными моментами

  В предыдущем примере продемонстрированы преимущества метода Маколея по сравнению с нашим предыдущим подходом к расчету прогиба. Однако, прежде чем мы завершим наше обсуждение, нам, вероятно, следует поработать над более сложным примером вопроса. Это даст нам возможность рассмотреть частичные равномерно распределенные нагрузки (заплаточные нагрузки) и точечные моменты.

  Чтобы использовать метод Маколея для борьбы с этими действиями, нам необходимо реализовать определенные стратегии. Имея это в виду, рассмотрите приведенную ниже структуру. Наша задача — построить изогнутую форму конструкции, как мы это делали в предыдущем примере. Мы также определим величину и положение максимального отклонения между точками A и B.

  Рис. 8: Пример балки.

  8.1 Реакции балки

  Мы можем начать с расчета вертикальных реакций в точках A и B. Взяв сумму моментов относительно точки A,

  (37)  

  (38)  

  (39)  

  Оценка суммы сил в вертикальном направлении дает .

  8.2 Метод Маколея и патч-нагрузка

  Расположение нагрузок на нашей конструкции вызывает у нас две проблемы, которые нам необходимо рассмотреть, если мы собираемся использовать метод Маколея,

  • тот факт, что распределенная нагрузка не работает весь путь до конца луча с правой стороны вызывает у нас проблему, которую мы решим далее.
  • нужно учитывать существование момента — потому что у него нет плеча рычага, у нас, естественно, нет функции сингулярности, которую мы могли бы применить к нему — это простое исправление, которое мы скоро увидим.

  Давайте упростим для демонстрационных целей и представим, что на нашу балку действует только распределенная нагрузка. Мы можем установить подконструкцию слева от разреза, как показано ниже на рис. 9.

  Рис. 9: Подконструкция только с равномерно распределенной нагрузкой.

  Наше выражение для изгибающего момента в разрезе будет следующим:

  (40)  

  Обратите внимание, что в наше выражение входит полное UDL, , «запеченное» . Это означает, что это уравнение может быть справедливым только для значений . Обычно это не будет проблемой, потому что наши функции сингулярности обычно исключают влияние нагрузки, когда разрез находится слева от нагрузки. Однако обратите внимание, что функция сингулярности устраняет влияние UDL только тогда, когда . Так что есть окно, когда наше уравнение даст нам неправильный изгибающий момент.

  Чтобы решить эту проблему, нам нужно, чтобы наша UDL всегда проходила до конца балки, другими словами, наш вертикальный разрез всегда должен проходить через любую UDL, применяемую к балке. Простой способ удовлетворить это требование — расширить нашу UDL до конца луча, а затем применить UDL в противоположном направлении, чтобы отменить влияние дополнительной UDL, которую мы добавили — это имеет больше смысла, когда вы видите ее в действии. , рис. 10 ниже.

  Рис. 10: Подконструкция со всеми примерами нагрузки. Обратите внимание, что силы, выделенные зеленым цветом, являются результирующими нагрузками UDL.

  Совместное влияние обоих UDL на рис. 10 такое же, как и влияние одиночного UDL, показанного на рис. 8.

  8.3 Метод Маколея и точечные моменты

  момент не умножается на плечо рычага в нашем уравнении момента, и поэтому нет функции сингулярности, которая устраняла бы момент, когда он не вносит вклад в . В нашем примере эта проблема на самом деле никогда не возникает, потому что момент в точке C всегда будет фигурировать в уравнении для , т. е. мы никогда не оцениваем внутренний изгибающий момент слева от , потому что он приложен к концу балки.

  Однако, чтобы проиллюстрировать проблему и найти решение для дальнейшего использования, давайте представим ту же балку с моментом, скажем, на рис. 11 ниже. В этом случае выражение внутреннего момента будет следующим:

  (41)  

  Рис. 11: Подконструкция с приложенным моментом в одной точке.

  В настоящее время мы не можем исключить момент, когда . Однако, если мы введем плечо рычага «судо», мы получим функцию сингулярности, которая позволит нам применить метод Маколея к этому моменту и устранить его. Обратите внимание, что , поэтому мы никогда не изменяем величину момента, когда он должен появиться в нашем уравнении. Итак, полное выражение для внутреннего момента, к которому мы можем применить метод Маколея, равно

  (42)  

  Но, как мы уже говорили, нам не нужно реализовывать это «исправление» в нашем примере, потому что момент всегда будет фигурировать в нашем уравнении, поскольку он расположен на крайнем левом конце балки. Итак, разобравшись с этими двумя деталями, мы можем вернуться к решению нашего вопроса.

  8.4 Постройте выражение для с функциями сингулярности и проинтегрируйте

  У нас есть полная подконструкция со всеми нагрузками и плечами рычага, показанная на рис. 10 выше. Взяв моменты о разрезе, мы можем построить наше выражение следующим образом:

  (43)  

  Теперь подставим это выражение в наше дифференциальное уравнение кривой прогиба,

  (44)  

  Интегрируем, чтобы получить выражение для наклона,

  (45)  

  Интегрируем снова, чтобы получить наше выражение для смещения,

  (46)  

  Граничное условие 1: :

  Применение граничного условия для смещения в A дает,

  (47)  

  Граничное условие 2: :

  Граничное условие для смещения в точке B дает,

  (48)  

  Решая совместные уравнения граничного условия, получаем и . Поэтому наше окончательное выражение для смещения луча получается как

  (49)

  8.5 Построение отклоненной формы

  Мы будем использовать ту же технику, что и раньше, для построения отклоненной формы. Приведенный ниже код структурирован так же, как код, который мы видели выше, но его содержимое явно изменено, чтобы представить наше новое уравнение отклонения. Код для построения графика одинаков и не повторяется ниже.

  1 2 3 4 5 6 7 8 10 110003 12 13 14 1999 0001 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 3 9000 2 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 2 9000 3 9000 3 9000 3 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0003 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

  #Значения по умолчанию и инициализации span = 16 divs = 10000 #Разделить диапазон на это число точек данных delta = span/divs # Расстояние между точками данных X = np. arange(0,span + delta,delta) #Диапазон координат x отклонение в каждой точке Deflection = np.zeros(len(X))  #Инициализируйте контейнер для хранения всех отклонений for i, x in enumerate(X):         deflection = 0   1  Term и 7     если x > 0: #moment Delta = -(60/2)*x ** 2 отклонение = отклонение + дельта #C1 Delta = -765*x отклонение = отклонение + дельта #Term 2 — Реакция в A     если x-3 > 0:         дельта = (123,5/6)*(x-3)**3         прогиб = прогиб + дельта 3   9 0003 Термин кН/м UDL, действующая вниз , если X -5> 0: Delta = -(50/24)*(x -5) ** 4 отклонение = отклонение + Delta #термин 4 -100 кв. -11> 0: Delta = -(100/6)*(x -11) ** 3 отклонение = отклонение + Дельта #термин 5 -50 кН/м UDL действует вверх , если x -9 > 0:         дельта = (50/24)*(x-9)**4         отклонение = отклонение + дельта #Term 6-Реакция при B , если X-13> 0: Delta = (251,5/6)*(X-13) ** 3 отклонение = отклонение + Delta # Термин 7 — C2 Отражение = отклонение + 2565 #Установление в этом месте для этого места отклонение [I] = отклонение/EI

  Рис. 12. Изогнутая форма балки. Обратите внимание, что при расчете жесткость на изгиб EI для удобства принимается равной 1.

  Может показаться странным, что точечная нагрузка в точке G никогда не фигурирует напрямую в нашем внутреннем уравнении изгибающего момента, . Однако его влияние учитывается косвенно через реакции в точках А и В. Убедиться в этом можно, просто увеличив точечную нагрузку до скажем и повторив расчет. Это потребует от вас расчета новых реакций, переоценки констант интегрирования и небольшого изменения блока кода выше, чтобы зафиксировать изменения — но это не так трудоемко, как кажется. Я построил сравнение двух отклонений на рис. 13 ниже.

  Рис. 13: Сравнение деформированных форм для точечной нагрузки 75 кН в точке G (синий) и точечной нагрузки 100 кН в точке G (зеленый) ожидать.

  4.6 Максимальный прогиб между A и B

  Последнее, что мы хотим сделать, это определить местоположение и величину максимального прогиба между A и B. Это относительно легко получить, так как максимальный прогиб происходит там, где наклон искривленная форма равна нулю. К счастью, у нас уже есть уравнение для наклона, так что нам просто нужно приравнять его к нулю и найти x… легче сказать, чем сделать! Взгляните еще раз на уравнение (повторяющееся сверху),

  (50)  

  Решить это уравнение алгебраически для слишком сложно. Гораздо более практичный подход состоит в том, чтобы определить интересующую область визуально, скажем, между метрами, и использовать метод проб и ошибок, то есть подставить значения в уравнение и посмотреть, какое из них делает уравнение равным нулю. В средние века это можно было сделать вручную, но, к счастью для нас, вместо этого мы можем поставить на работу робота — с помощью скрипта Python!

  Наш подход будет заключаться в использовании цикла for для цикла вдоль каждой позиции на балке и вычисления наклона почти так же, как мы вычисляли отклонение. В конце каждой итерации цикла мы проверяем, изменился ли знак наклона с отрицательного на положительный. Если это так, это означает, что точка нулевого наклона была пересечена между предыдущей и текущей итерацией. Возьмем x-позицию на текущей итерации как точку, в которой наклон был равен нулю и, следовательно, местонахождение максимального прогиба.

  1 2 3 4 5 6 7 8 10 110003 12 13 14 1999 0001 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 3 9000 2 9000 2 14 9000 3 9000 3 9000 2 9000 3 9000 3 9000 3 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0003 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

  previousSlope = 0 #Наклон из предыдущей итерации (инициализируйте значение)   for i, x in enumerate(X):       slope = 0 #Наклон, рассчитанный на этой итерации #термин 1 — момент , если x> 0: Delta = -60*x Slope = Slope + Delta #термин 2 — реакция на , если x -3> 0 :        дельта = (123,5/2)*(x-3)**2         наклон = уклон + дельта         дельта = -(50/6)*(x-5)**3 Slope = Slope + Delta #термин 4 -100 кН точка нагрузки , если X -11> 0: Delta = -(100/2)*(x -11) ** 2 Slope = Slope + delta             #Условие 5 — 50 кН/м UDL воздействует вверх     если x-9 > 0:         delta = (50/6)*(x-9)     delta = (50/6)*(x-9)** +  3   delta              #Term 6 — Реакция на B     если x-13 > 0: Delta = (251,5/2)*(x -13) ** 2 Slope = Slope + Delta #термин 7 — C1 Slope = наклон — 765 #test для изменения в подписать наклон , если i> 0 и x> 7,5 и x <10: Если предыдущий склоп <= 0 и наклон> 0: местоположение = x Предыдущий Слоп = наклон #Update Значение предыдущего Слопа для следующая итерация   # Напечатайте оператор, чтобы показать конечный результат print(‘Максимальное отклонение между A и B происходит при x={one} m’. format(one=round(location,3)))

  Наш сценарий выводит следующую текстовую строку:

  Максимальное отклонение между A и B происходит при x=7,781 м

  Теперь мы можем подставить это значение в наше уравнение отклонения и получить отклонение в этом месте ,

  (51)  

  (52)  

  Это завершает анализ метода Маколея. Во времена компьютеризированного структурного анализа нам редко приходится обрабатывать подобное отклонение, но все же приятно оставаться в курсе фундаментальных принципов. Далее мы рассмотрим несколько еще более быстрых способов определения отклонения балки, полностью исключающих исчисление.

  9.0 Использование суперпозиции для расчета прогиба балки

  Выше мы видели, как определить прогиб балки из первых принципов. Это дало нам полное представление об отклонении, но даже после применения метода Маколея процесс расчета отклоненной формы по-прежнему был относительно длительным.

  Мы можем использовать принцип суперпозиции, чтобы получить ответ для прогиба середины пролета намного быстрее, используя табличные формулы для прогиба балки. Эти формулы уже были определены и сведены в таблицы для обычных случаев нагрузки с использованием только что продемонстрированного нами метода. Некоторые из наиболее распространенных уравнений отклонения приведены в таблице ниже.

  Рис. 14. Таблица прогиба балки с некоторыми распространенными вариантами нагрузки на балку.

  Опираясь на принцип суперпозиции, мы можем оценить прогиб в середине пролета для каждой нагрузки отдельно, а затем просто добавить или наложить прогибы вместе. Это даст тот же результат, что и указанный выше.

  9.1 Равномерно распределенная нагрузка

  Рассмотрим формулу для прогиба балки под действием равномерно распределенной нагрузки, рис. 15,

  (53)  

  При эта формула оценивается как

  Рис. 15. Свободно опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой.

  9.

  2 Точечная нагрузка #1

  Формула для прогиба балки, подвергаемой одноточечной нагрузке, рис. 16, где расстояние меньше расстояния до положения, в котором оценивается прогиб, составляет

  (54)  

  Получается

  Рис. 16. Свободно опертая балка, подверженная точечной нагрузке на расстоянии от левой опоры и от правой опоры.

  9.3 Точечная нагрузка #2

  Наконец, оценивая формулу для прогиба, где , рис.

  Рис. 17. Свободно опертая балка, подверженная точечной нагрузке на расстоянии от левой опоры и от правой опоры.

  Суммируя три среднепролетных прогиба, получается,

     

  Конечно, это то же самое значение, которое мы получили выше. Построив эти уравнения, мы можем дополнительно визуализировать вклад каждой нагрузки в общую деформированную форму, рис. 18.

  Рис. 18. Общая деформированная форма, полученная как суперпозиция отдельных прогибов от каждой нагрузки, рассматриваемой отдельно.

  Итак, на этом мы завершаем обсуждение отклонения балки. В конце концов, вам решать, какой подход вы решите использовать для расчета прогибов. Конечно, есть и другие методы, которые вы можете использовать для оценки отклонения, но в любом случае хорошо иметь представление о том, как мы можем это сделать, исходя из первых принципов. Помните, что, как и у любого вывода, у этого есть свои ограничивающие предположения, о которых говорилось выше. Все, что мы обсуждали выше, справедливо только в том случае, если мы удовлетворяем этим ограничивающим предположениям.

  Если вы нашли этот пост полезным, вам может понравиться этот проект, в котором мы создаем калькулятор отклонения балки на Python — если вы считаете, что метод Маколея быстрый, создание собственного калькулятора позволяет молниеносно вычислять отклонения балки.

  Пока все, увидимся в следующем.

  ---

  Линкедин

  Твиттер

  YouTube

  Автор

  Доктор Шон Кэрролл

  BEng (с отличием), MSc, PhD, CEng MIEI, FHEA

  Привет, я Шон, основатель DegreeTutors. com. Я надеюсь, что вы нашли этот урок полезным. Проработав 10 лет в качестве преподавателя в университете по проектированию конструкций, я создала DegreeTutors.com, чтобы помочь большему количеству людей понять инженерное дело и получить от его изучения такое же удовольствие, как и я. Не стесняйтесь связаться или подписаться на DegreeTutors в любой из социальных сетей.

  Таблицы отклонения балки | МеханиКальк

  ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.

  ---

  В таблицах ниже приведены уравнения для прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных условий на концах и нагрузок. Вы можете найти исчерпывающие таблицы в таких справочниках, как Gere, Lindeburg и Shigley. Однако приведенные ниже таблицы охватывают большинство распространенных случаев.

  Для получения информации об отклонении балки см. наш справочник по напряжениям и отклонениям в балках.

  Консольные балки

  Консоль, торцевая нагрузка		@ х = L @ х = L В = +F М = -F (L — х) M макс. = −FL @ х = 0
  Консоль, промежуточная нагрузка		( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L ) @ х = L ( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L ) В = +F ( 0 ≤ х ≤ а ) В = 0 ( а ≤ х ≤ L ) М = -F (а — х) ( 0 ≤ х ≤ а ) М = 0 ( а ≤ х ≤ L )
  Консоль, равномерная распределенная нагрузка		@ х = L @ х = L V = +w (L − x) В макс. = +wL @ х = 0 М = -w (L — x) 2 / 2 M макс. = −wL 2 / 2 @ х = 0
  Консоль, треугольная распределенная нагрузка		@ х = L @ х = L В макс. = +w 1 л / 2 @ х = 0 M макс. = −w 1 L 2 / 6 @ х = 0
  Консоль, Конечный момент		@ х = L @ х = L М = -М 0

  Просто поддерживаемые балки

  Просто поддерживаемые, промежуточная нагрузка		( 0 ≤ х ≤ а ) Для a ≥ b: @ ( 0 ≤ х ≤ а ) @ х = 0 @ х = L В 1 = +Fb / L ( 0 ≤ х ≤ а ) В 2 = −Fa / L ( а ≤ х ≤ L ) M max = +Fab / L @ х = а
  Простая опора, центральная нагрузка		(0 ≤ х ≤ L/2) @ х = L/2 (0 ≤ х ≤ L/2) @ х = 0 @ х = L В 1 = +F / 2 (0 ≤ х ≤ L/2) В 2 = −F / 2 (L/2 ≤ x ≤ L) M макс. = FL / 4 @ х = L/2
  Просто поддерживаемый, 2 нагрузки на равном расстоянии от опор		( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L — а ) @ х = L/2 ( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L — а ) @ х = 0 @ х = L В 1 = +F ( 0 ≤ х ≤ а ) В 2 = −F ( L — а ≤ x ≤ L ) М макс = Fa ( а ≤ х ≤ L — а )
  Простая опора, равномерная распределенная нагрузка		@ х = L/2 @ х = 0 @ х = L V = w (L/2 − x) В 1 = +wL / 2 @ х = 0 В 2 = −wL / 2 @ х = L M макс. = wL 2 / 8 @ х = L/2
  Простая опора, момент на каждой опоре		@ х = L/2 @ х = 0 @ х = L М = М 0
  Простая опора, момент в одну опору		@ x = L (1 − √3/3) @ х = 0 @ х = L В = −М 0 / л М макс. = М 0 @ х = 0
  Простая опора, центральный момент		(0 ≤ х ≤ L/2) (0 ≤ х ≤ L/2) @ х = 0 @ х = L В = +M 0 / L М = М 0 х/л (0 ≤ х ≤ L/2) М макс. = М 0 / 2 @ х = L/2

  Фиксированные-Фиксированные балки

  Фиксированные-Фиксированные, центральная нагрузка		(0 ≤ х ≤ L/2) @ х = L/2 В 1 = +F / 2 (0 ≤ х ≤ L/2) В 2 = −F / 2 (L/2 ≤ x ≤ L) М = F (4x — L) / 8 (0 ≤ х ≤ L/2) М 1 = М 3 = −FL / 8 @ х = 0 и х = L М 2 = +FL / 8 @ х = L/2
  Фиксированная-фиксированная, равномерная распределенная нагрузка		@ х = L/2 V = w (L/2 − x) В 1 = +wL / 2 @ х = 0 В 2 = −wL / 2 @ х = L М = w (6Lx − 6x 2 − Л 2 ) / 12 M 1 = M 3 = −wL 2 / 12 @ х = 0 и х = L М 2 = шЛ 2 / 24 @ х = L/2

  ---

  Ознакомьтесь с нашим калькулятором луча, основанным на методологии, описанной здесь.

  • Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
  • Построение диаграмм сдвига и моментов
  • Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

  ---

  1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроение Шигли», 8-е изд.

  2. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.

  3. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена PE», 13-е изд.

  ---

  Прогиб балки: как рассчитать

  Существует множество ситуаций в приложениях с перемещением, когда линейная направляющая или привод не поддерживаются полностью по всей своей длине. В этих случаях прогиб (из-за собственного веса компонента и из-за приложенных нагрузок и усилий) может повлиять на ходовые качества подшипников и вызвать плохую работу в виде преждевременного износа и заедания.

  Изделия, которые могут монтироваться только с концевыми опорами, такие как линейные валы или приводные узлы, или с консольной ориентацией, такие как телескопические подшипники, обычно имеют характеристики максимально допустимого отклонения. Важно проверить приложение и убедиться, что это максимальное отклонение не превышено. К счастью, большинство линейных направляющих и приводов можно смоделировать в виде балок, а их отклонение можно рассчитать с помощью обычных уравнений отклонения балки.

  Соображения по материалам и конструкции

  При расчете прогиба необходимо знать свойства направляющей или привода и условия приложенной нагрузки. С точки зрения направляющей или привода важными критериями являются модуль упругости и плоский момент инерции компонента. Модуль упругости является мерой жесткости материала, и обычно его можно найти в каталоге продукции. Момент инерции описывает сопротивление объекта изгибу и иногда предоставляется производителем компонента. Если момент инерции не указан, его можно разумно аппроксимировать, используя уравнение момента инерции для сплошного или полого цилиндра (для линейного круглого вала) или прямоугольника (телескопический подшипник или линейный привод).

  ---

  Модуль упругости, также известный как модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, можно определить как отношение напряжения (силы на единицу площади) на оси к деформации (отношение деформации по длине) вдоль этой оси.

  Плоский момент инерции (также называемый вторым моментом площади или моментом инерции площади) определяет, как точки площади распределяются относительно произвольной плоскости и, следовательно, ее сопротивление изгибу.

  ---

  С точки зрения применения и конструкции критериями, влияющими на прогиб балки, являются тип опоры на концах направляющей или привода, приложенная нагрузка и неподдерживаемая длина. Когда компонент является консольным, его можно смоделировать как фиксированную балку, а когда он поддерживается с обоих концов, его обычно можно смоделировать как просто поддерживаемую балку. Для консольных балок максимальный прогиб будет иметь место, когда нагрузка будет находиться на свободном конце балки, а для свободно опертых балок максимальный прогиб произойдет, когда нагрузка будет находиться в центре балки.

  При определении полного отклонения имейте в виду, что будут две нагрузки, вызывающие отклонение: вес самой направляющей или привода и приложенная нагрузка. Собственный вес компонента почти всегда можно смоделировать как равномерно распределенную нагрузку, а приложенную нагрузку оценить как точечную нагрузку в месте максимального прогиба (на свободном конце консольной балки или в центре свободно опертой балки). обычно обеспечивает наихудший сценарий полного отклонения.

  Отклонение консольных балок

  Телескопические подшипники часто бывают консольными, а некоторые конфигурации декартовых роботов приводят к консольному приводу по оси Y или Z. В этом случае вес балки, достаточно равномерный по ее длине, вызывает максимальный прогиб на конце балки.

  Изображение предоставлено: wikipedia.org

  Это отклонение рассчитывается как:

  Где:

  q = усилие на единицу длины (Н/м, фунт-сила/дюйм)

  L = длина без опоры (м, дюймы)

  E = модуль упругости (Н/м ² , фунт-сила/дюйм ² )

  2

• 2 90 4 , in ⁴ )

  Чтобы создать сценарий прогиба в наихудшем случае, мы рассматриваем приложенную нагрузку как точечную нагрузку (F) на конце балки, и результирующий прогиб можно рассчитать как:  

  Суммируя прогиб из-за равномерной нагрузки и прогиб из-за приложенной (точечной) нагрузки, получаем общий прогиб на конце балки:

  Прогиб свободно опертых балок

  Линейные валы и приводы часто закрепляются на концах, оставляя их длину неподдерживаемой, как у свободно опертой балки. Равномерная нагрузка на балку (собственный вес вала или привода) вызовет максимальное отклонение в центре балки, которое можно рассчитать как:

  моделируется как точечная нагрузка в центре балки для наихудшего сценария.

  Изображение предоставлено: wikipedia.org

  Прогиб из-за приложенной нагрузки в этом состоянии рассчитывается как:

  Суммарный прогиб в центре балки:

  Прогиб валов с двумя подшипниками

5 При использовании двух подшипников на свободно опертой балке, как это обычно бывает с направляющими круглого вала, приложенная нагрузка распределяется между двумя подшипниками, и максимальный прогиб происходит в двух местах: в месте каждый подшипник , когда узел подшипника (иногда называемый кареткой или столом) находится в середине вала.

Изображение предоставлено: Thomson Linear

Расчет прогиба балки для этого условия:

Опять же, мы должны добавить прогиб из-за собственного веса балки плюс прогиб из-за приложенной нагрузки, чтобы получить общий прогиб из:

---

Существуют дополнительные сценарии монтажа и нагрузки, которые могут встречаться в некоторых приложениях, например, в приводе с фиксированной опорой на обоих концах. Но, как и в приведенных выше примерах, их можно оценить с помощью стандартных уравнений отклонения балки. Полный список сценариев поддержки балки и уравнений прогиба см. на этой странице Корнельского университета.

Особенность изображения. Том. 70, № 12, 16 июня 1992 г.

Прогибы балок стали проще

Г-н А. Н. Бил из Лидса прислал нам записку, предлагающую простую процедуру приблизительного ручного расчета прогибов стальных балок. Хотя его вклад оказался слишком длинным, чтобы быть включенным в Verulam целиком, сокращенная версия может заинтересовать многих читателей. Г-н Бил отмечает, что, хотя расчет изгибающих напряжений в балке вручную обычно не представляет труда, расчет прогибов может быть гораздо более трудоемким. Поскольку обычно нет необходимости знать отклонения с какой-либо большой степенью точности (в пределах 10%, вероятно, будет достаточно), предлагается следующий подход.

Случай свободно опертой балки, несущей равномерную нагрузку, иллюстрирует этот подход.

Если взять формулу прогиба (Δ = 5WL³/384EI) и выразить ее через изгибающий момент (M = WL/8), получится Δ = 5ML³/48EI.

Теперь для стальной балки напряжение упругого изгиба fbt = M/Z, где Z = 2I/D, что дает fbt = MD/2I.
(Z — модуль упругости, I — момент инерции, а D — общая глубина сечения.)

Подстановка этого значения в формулу прогиба дает Δ = 5 fbtL³/24ED. При E 210 кН/мм² получается:

Δ (мм) = 0,992 фбтл²/D . . . (1)

Здесь fbt, L и D выражены в их обычных единицах Н/мм², м и мм соответственно.

Для всех практических целей формула

Δ = fbtL²/D . . . (2)

удобен в использовании, легко запоминается и точен с точностью до 1%.

Г-н Бил затем переходит к рассмотрению других распределений нагрузки, аналогичным образом связывая центральный прогиб Δ с экстремальным напряжением волокна fbt, что дает результаты, показанные в первом столбце результатов в таблице 1. Во втором столбце приведены значения для фиксированных нагрузок. 2660 оконечных балок, которые, по мнению г-на Била, могут применяться для оценки прогибов непрерывных балок.

Наконец, г-н Бил иллюстрирует, как его процедура может быть использована для сложных нагрузок, путем расчета прогиба свободно опертой балки, нагруженной, как показано на рис. 1:

рис. 1

Центральный изгибающий момент, рассчитанный как 444,3 кНм.
Для сечения балки Z = 2474 см³, D = 539,5 мм, что дает

fbt = 179,6 Н/мм².

Простое приближенное отклонение с использованием ур. (2) равно

ΔAPP = 179,6 x 7²/539,5 = 16,3 мм = L/429 OK.

Для более точной оценки, учитывая, что большая часть момента создается центральной точечной нагрузкой, мы можем взять коэффициент ближе к значению точечной нагрузки 0,8 (скажем, 0,85), что дает

Δ = 0,85 fbt x L² /D = 13,9 мм

Для сравнения, точный компьютерный анализ той же балки дал отклонение 13,8 мм.

Поэтому для большинства практических целей нам нужно запомнить только четыре простые формулы для прогибов свободно опертых или неразрезных стальных балок, как показано в таблице 2.

Эти формулы не только облегчают жизнь для простых равномерных и точечных нагрузок — они означают, что прогиб при более сложных схемах нагрузки может быть рассчитан без труда. Они также особенно подходят для проверки «обратной стороны конверта» компьютерных конструкций. Лучше всего то, что их легко запомнить.

Есть берущие?

Оригинал этого документа можно получить по телефону

www.istructe.org/thestructuralengineer

Таблица 2	Прогиб
	Распределенная нагрузка	Точечная нагрузка
Просто- поддерживается	фбтL²/D	0,8fbtL²/D
Фиксированный- закончился	0,6fbtL²/D	0,4fbtL²/D

Δ = прогиб (мм)
fbt = напряжение при максимальном прогибающем моменте (Н/мм²)
L = пролет (м)
D = глубина (мм)

Таблица 1	Прогиб (мм)
Загрузка	Просто поддерживается	Фиксированный- закончился
	0,99fbtL²/D	0,60fbtL²/D
	0,95fbtL²/D	0,56fbtL²/D
	0,89fbtL²/D	0,51fbtL²/D
	1,01fbtL²/D	0,66fbtL²/D
	0,94fbtL²/D	0,53fbtL²/D
	0,79fbtL²/D	0,40fbtL²/D
	0,74fbtL²/D	0,38fbtL²/D

Калькулятор консольной балки | источник кальция

Прыжки до

-Калькулятор

-Теоретический фон

Соглашение

-Калькулятор

-Теоретический фон

-Введение

-Условные

-Согласование. равномерная распределенная нагрузка

— Консольная балка с точечным усилием на вершине

— Консольная балка с точечным усилием в произвольном положении

— Консольная балка с точечным моментом

— Консольная балка с переменной распределенной нагрузкой

— Консольная балка с трапециевидным распределением нагрузки плитного типа

— Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

— Консольная балка с частично распределенной трапециевидной нагрузкой

—  Статьи по теме

3 90

См. также

Калькулятор консольной балки

— Д-р Минас Э. Лемонис, доктор философии — Обновлено: 27 июня 2020 г.

Главная > Статика > Консольная балка

Этот инструмент рассчитывает статическую реакцию консольных балок при различных сценариях нагрузки. Инструмент рассчитывает и строит диаграммы для следующих величин:

• реакции
• изгибающие моменты
• поперечные силы сдвига
• прогибы
• уклоны

Обратите внимание, что приняты предположения теории балок Эйлера-Бернуля. является упругим, а поперечное сечение постоянным на всем пролете балки (призматическая балка).

• Вместо этого переходите к теории и формулам!

Units:
	Imperial Metric

94

1	2	3	4
Структура
L =		mcmmmydftin
Рассчитайте момент инерции балок различных сечений с помощью наших специальных калькуляторов.

ADVERTISEMENT

1	2	3	4
Imposed loading:
Uniform distributed loadUniform распр. нагрузка (суммарная)Точечная нагрузка на остриеТочечная нагрузкаТочечный моментТреугольная нагрузкаТрапециевидная нагрузкаТрапециевидная нагрузка (плита)Частичная равномерная нагрузкаЧастичная треугольная нагрузкаЧастичная трапециевидная нагрузка
Calculate

1	2	3	4
Results:
Reactions:
R A =		KNNKGTLBFKIP
M A =		8888888888888888888896 гг.0337
Bending Moment:
M u =		kNmNmkg.mt.mlbf.ftlbf.inkip.ftkip.in
x m =		mcmmmydftin
Transverse Shear Force:
V u =		kNNkgtlbfkip
x v =		mcmmmydftin
Deflection:
d u =		mcmmmydftin
x d =		mcmmmydftin
Slopes:
θ A =		degradmrad
θ B =		degradmrad

1	2	3	4
Request results at a specific point:
x =		mcmmmydftin
M(x) =		kNmNmkg. mt.mlbf.ftlbf.inkip.ftkip.in
V(x) =		kNNkgtlbfkip
d(x) =		mcmmmydftin
θ(x) =		degradmrad

.50 Diagrams
kNmNmkg.mt.mlbf.ftlbf.inkip.ftkip.in
kNNkgtlbfkip
mcmmmydftin
degradmrad
kN/mN/mkg/ mt/mlbf/ftlbf/inkip/ft

РЕКЛАМА

Лучшие страницы

Поделиться

Теоретическая база

Содержание 3090

— Введение 3090

— 90

2 — Допущения

— Условные знаки

— Условные обозначения

— Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

— Консольная балка с точечной силой на вершине

— Консольная балка с точечной силой в произвольном положении

— точечный момент

— Консольная балка с переменной распределенной нагрузкой

— Консольная балка с плитным трапециевидным распределением нагрузки

— Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

—  Консольная балка с частично распределенной трапециевидной нагрузкой

—  Статьи по теме

Введение

Консольная балка является одной из самых простых конструкций. Он имеет только одну опору на одном из концов. Опора представляет собой так называемую неподвижную опору , которая препятствует любому движению, включая вертикальные или горизонтальные смещения, а также любые повороты. Другой конец не поддерживается, поэтому он может свободно перемещаться или вращаться. Этот свободный конец часто называют 9.0013 наконечник кантилевера.

Консоль имеет только одну фиксированную опору

Удаление единственной опоры или вставка внутреннего шарнира превращает консольную балку в механизм: тело движется без ограничений в одном или нескольких направлениях. Это нежелательная ситуация для несущей конструкции. В результате консольная балка не имеет избыточности в плане опор. Если произойдет локальный отказ, вся конструкция рухнет. Эти типы структур, которые не предлагают избыточности, называются 9.0013 критических или определительных структур. Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной конструкцией. Консольная балка является определяющей конструкцией.

РЕКЛАМА

Допущения

Статический анализ любой несущей конструкции включает оценку ее внутренних сил и моментов, а также ее прогибов. Как правило, для плоской конструкции с плоской нагрузкой интересующими внутренними воздействиями являются осевая сила N, поперечная поперечная сила V и изгибающий момент M. Для консольной балки, которая воспринимает только поперечные нагрузки, осевая сила всегда равна нулю. , при условии, что прогибы малы. Поэтому довольно часто пренебрегают осевыми силами.

Результаты расчетов на этой странице основаны на следующих допущениях:

• Материал однородный и изотропный (другими словами, его характеристики одинаковы во всех точках и в любом направлении)
• Материал линейно-упругий
• Нагрузки приложены статически (не меняются со временем)
• Поперечное сечение одинаково по всей длине балки
• Прогибы небольшие
• Каждое поперечное сечение, изначально плоское, а также нормальное к продольной ось, остается плоской и нормальной к отклоненной оси. Это тот случай, когда высота сечения значительно меньше длины балки (в 10 и более раз), а также сечение не многослойное (не сэндвич-сечение).

Последние два предположения удовлетворяют кинематическим требованиям теории балки Эйлера-Бернулли, которая также принимается здесь.

Правила знаков

Для расчета внутренних сил и моментов в любом сечении балки необходимо соблюдать правила знаков. Здесь приняты следующие значения:

1. Осевая сила считается положительной, если она вызывает растяжение детали.
2. Сила сдвига положительна, когда она вызывает вращение детали по часовой стрелке.
3. Изгибающий момент является положительным, когда он вызывает растяжение нижнего волокна балки и сжатие верхнего волокна.

Эти правила хоть и не обязательны, но достаточно универсальны. Другой набор правил, если им следовать последовательно, также приведет к тем же физическим результатам.

Правило положительного знака для внутренней осевой силы, Н, поперечной силы, В, и изгибающего момента, М

Символы

• E: модуль упругости материала (модуль Юнга)
• I: момент инерции поперечного сечения вокруг упругой нейтральной оси изгиба
• L: общая длина балки
• R: опорная реакция
• d: прогиб
• M: изгибающий момент
• V: поперечный сдвиг усилие
• \тета: уклон

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Нагрузка w распределена по всему консольному пролету, имеет постоянную величину и направление. Его размеры представляют собой силу на длину. Суммарная сила, приложенная к консольной балке, равна W=w L, где L — длина балки. В зависимости от обстоятельств может быть указана либо общая сила W, либо распределенная сила по длине w. 92)}{6 E I}

РЕКЛАМА

Консольная балка с точечной силой на конце

Сила сосредоточена в одной точке, расположенной на свободном конце балки. Однако на практике сила может быть распределена по небольшой площади, хотя размеры этой области должны быть существенно меньше длины кантилевера. В непосредственной близости от приложения силы ожидаются концентрации напряжений, в результате чего реакция, предсказываемая классической теорией балки, может быть неточной. Однако это лишь локальное явление. По мере того, как мы удаляемся от места действия силы, результаты становятся достоверными в силу принципа Сен-Венана.

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статическую реакцию консольной балки на сосредоточенную точечную силу P, приложенную к концу. 2}{2EI} 92(3L-x)}{6EI} Уклон в точке x: \theta(x)=-\frac{Px(2L — x)}{2EI}

Консольная балка с сосредоточенной силой в произвольном положении

Сила сосредоточена в одной точке в любом месте по длине кантилевера. Однако на практике сила может быть распределена по небольшой площади. Однако для того, чтобы считать силу сосредоточенной, размеры области приложения должны быть существенно меньше длины балки. В непосредственной близости от силы ожидаются концентрации напряжений, в результате чего реакция, предсказываемая классической балочной теорией, может оказаться неточной. Однако это лишь локальное явление, и по мере удаления от места действия силы расхождение результатов становится незначительным.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статическую реакцию консольной балки на сосредоточенную точечную силу P, приложенную на произвольном расстоянии a от неподвижной опоры.

Cantilever beam with point load at random position
Quantity	Formula
Reactions:	R_A=P M_A=-Pa
End slopes : 92(3x — a)\over 6EI} &, x>a\end{выровнено} \right.
Наклон в точке x:	\theta(x)=\left\{\begin{align} -& {Px(2a — x)\over 2EI} &, x\le a \\& \theta_B & , x>a\end{выровнено} \right.

Консольная балка с точечным моментом

В этом случае момент создается в одной точке балки в любом месте по пролету. С практической точки зрения это может быть пара сил или элемент при кручении, соединенный вне плоскости и перпендикулярно балке.

В любом случае область приложения момента должна распространяться на небольшую длину кантилевера, чтобы его можно было успешно идеализировать как сосредоточенный момент в точке. Несмотря на то, что в непосредственной близости от области применения результаты, предсказанные классической теорией балки, как ожидается, будут неточными (из-за концентрации напряжений и других локализованных эффектов), предсказанные результаты становятся полностью достоверными, когда мы удаляемся, как заявил Святой — Принцип Венана.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статическую реакцию консольной балки на сосредоточенный точечный момент M, приложенный на расстоянии a от неподвижной опоры.

Cantilever beam with point moment
Quantity	Formula
Reactions:	R_A=0 M_A=M
End slopes:	\theta_A =0 \theta_B =\frac{M a}{ E I }
Предельный изгибающий момент:	M_u=M
Предельная сила сдвига: _u= }{2 E I} &, x\le a \\& -\theta_B \left(x-{a\over2}\right) &, x>a\end{aligned} \right.
Наклон в точке x:	\theta(x)=\left\{\begin{align}& \frac{M x}{E I} &, x\le a \\& \theta_B &, x> a\end{выровнено} \right.

Консольная балка с переменной распределенной нагрузкой

Нагрузка распределяется по длине консоли с линейно изменяющейся величиной, начиная с w_1 на неподвижной опоре до w_2 на свободном конце. Размеры w_1 и w_2 являются силой на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W={L\over2}(w_1+w_2), где L — длина кантилевера.

Если w_1=0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с возрастающей величиной (пик на вершине).

Если w_2=0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с уменьшающейся величиной (пик на неподвижной опоре).

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статическую реакцию консольной балки трапециевидной формы на переменную распределенную нагрузку.

93}{24EI}

где: w_x=w_1+{(w_2-w_1)\over L}x

Распределение нагрузки трапециевидной формы на консольной балке является типичным 9

для консольных балок, поддерживающих плиту. Распределение имеет вид прямой трапеции с возрастающей частью вблизи неподвижной опоры и постоянной частью с величиной, равной w, на оставшейся длине до вершины. Размеры w представляют собой силу на длину. 2\right) 93}{6EI} &,x> a \end{align}\right.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть длины консоли с постоянной величиной w, а остальная часть не нагружена. Размеры w представляют собой силу на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W=w\left(L-a-b\right), где L — длина консоли, а a, b — ненагруженные длины левой и правой сторон балки соответственно.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статическую реакцию консольной балки на частично распределенную равномерную нагрузку.

93}{6EI}&, a{<}x{<}L-b\\ &\theta_B &,x\ge L-b \end{выровнено}\right.

Cantilever beam with partially distributed uniform load
Quantity	Formula
Reactions:	R_A=wL_w M_A=- wL_w\left(a+{L_w\over 2}\справа)
Концевые откосы:
Где: x_a = x-a L_W = L-A-B L_B = L-B

Cantilever Beam с частично распределенной нагрузкой. линейно изменяющаяся величина от w_1 до w_2, а оставшаяся длина разгружается. Размеры w_1 и w_2 являются силой на длину. Общая сила, приложенная к балке, равна W={L-a-b\over2}(w_1+w_2), где L — длина балки, а a, b — ненагруженные длины левой и правой сторон балки соответственно.

Это самый общий случай. Формулы для частично распределенных равномерных и треугольных нагрузок могут быть получены путем соответствующей установки значений w_1 и w_2. Кроме того, соответствующие случаи для полностью загруженного пролета могут быть получены путем установки a и b равными нулю.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статическую реакцию консольной балки на частично распределенную трапециевидную нагрузку.

Балка консольная с частично распределенной линейно-переменной нагрузкой (трапециевидная) 93}{24EI}&, a{ <}x{<}L-b\\ &\theta_B &,x\ge L-b \end{выровнено}\right.
where: x_a=x-a L_w=L-a-b L_1=L+a-b L_b=L-b w_{m}={w_1+w_2\over2} w_x= w_1+{(w_2 -w_1)\over L_w}(x-a)

Статьи по теме

Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

РЕКЛАМА

См. также

Определение, типы балок и примеры решений

Прогиб балки

[Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

Балка — это длинная часть тела, способная выдерживать нагрузку за счет сопротивления изгибу . Отклонение балки в определенном направлении при приложении к ней силы известно как -секундное отклонение балки . Существуют в основном четыре переменные , которые могут определять величину прогиба балки:

• Нагрузка на конструкцию
• The length of unsupported members
• The material (specifically the Young’s Modulus )
• The cross-section size (specifically the Moment of Inertia (I)

Beam Схема прогиба

Расстояние прогиба стержня под нагрузкой можно рассчитать путем интегрирования функции, которая математически описывает наклон стержня под этой нагрузкой. 0013 двойной интеграл уравнения изгибающего момента, что означает M(x), деленное на произведение E (модуль Юнга) и I (момент инерции).

Проверка:

---

Формула прогиба балки

[Нажмите здесь, чтобы получить примеры вопросов]

Балки могут сильно различаться по своей геометрии и составу . Некоторые простые примеры показаны ниже. Выраженные формулы представляют собой приближений, разработанных для длинных, тонких, однородных, призматических балок с малыми прогибами и линейными упругими свойствами.

Консольные балки

Консольные балки — это особые типы балок, которые ограничены только одной заданной опорой . Эти типы объектов, естественно, будут больше отклоняться из-за поддержки только на одном конце, поэтому наклон и отклонение на этом конце должны быть равны нулю. Консольные балки далее классифицируются как:

• с торцевой нагрузкой 
• с равномерной нагрузкой

Схема консольной балки

Консольные балки с торцевой нагрузкой

В этом случае консольных балок нагрузка приложена в одной точке на балке. Ниже приведена схема, чтобы понять это немного лучше.

Схема консоли с торцевой нагрузкой

Чтобы рассчитать прогиб консольной балки с силой на свободном конце, мы можем использовать следующее уравнение: 9{3}} {3ei} \)

, где,

Δ _B — отклонение луча

F — это сила на одном конце

L — длина BEAM

9003

L — длина BEAM

E L — Длина BEAM

E L — длина BEAM

L . Модуль

I есть Момент инерции

Если пролет удвоится, прогиб увеличится в восемь раз . Прогиб в любой точке x вдоль пролета консольной балки с торцевой нагрузкой можно рассчитать, используя: 9{3}}{6EI} \)(3 L-x )

Когда x = L (конец балки), δx идентично δB в приведенном выше уравнении.

Читайте также: Напряжение растяжения

Равномерно нагруженные консольные балки

Равномерно нагруженные консольные балки имеют силу , действующую равномерно по длине балки . Схема выглядит следующим образом:

Схема консоли с равномерной нагрузкой

9{2}}{24EI}\)(6L ²  -4Lx + x ² )

Балки с простой опорой

Балки с простой опорой имеют опору на конце, которая допускает вращение , но не отклонение . Простые поддерживаемые балки могут быть дополнительно классифицированы как:

• Центр, нагруженные
• OFF-CENTER
• Едино нагружен

СРЕДНАЯ СВЯЗАНАПОРТАЦИОНАЯ СПАСПОРТАЦИЯ SCHEMATILELVATILELVATILELVATILELVATILELVATILVATILELVATILVATILVATILELVATILVATILVATILVATILVATILVATILVATILELVATILVATILVATILVATILELVATILVATVED. 2)\)

Простые балки со смещенной нагрузкой

В этом типе балки сила действует в точке, немного удаленной на от центра. Схема выглядит следующим образом:

Схема нагрузки со смещением от центра

Максимальное упругое отклонение на балке , поддерживаемой двумя простыми опорами, нагруженными на расстоянии a от ближайшей опоры, определяется по формуле:

\ ( \)

Где a — расстояние от груза до ближайшей опоры 92}{3}}\)

Читайте также:   Термическое напряжение

Равномерно нагруженные простые балки

В этом типе балок сила действует равномерно по длине балки. Схема представлена ​​следующим образом:

Схема с равномерной нагрузкой

Упругое отклонение в средней точке C на балке, поддерживаемой двумя простыми опорами, при равномерной нагрузке, как показано на рисунке, определяется как:

9{}}{384EI}\) 

Где q равномерная нагрузка на балку (усилие на единицу длины) Примеры вопросов]

Приведенные выше формулы требуют использования последовательного набора единиц измерения. Большинство расчетов производится в единицах СИ.

• Сила: Ньютоны (Н)
• Длина: Метры (м)
• Modulus of elasticity: N/m ²
• Moment of Inertia: m ⁴

Other units may be used as well, as long as they являются самосогласованными . Например, иногда для измерения нагрузок используется единица килограмм-сила (кгс). В таких случаях модуль упругости необходимо преобразовать в кгс/м ² .

Читайте также:   Напряжение и давление

---

Решено Пример

Вопрос: Консольная балка длиной 2 метра поддерживается только с одного конца. Модуль Юнга металла равен 200 x 10 ⁹ Нм ^-2 . Момент инерции 50 кг м ² . Если к одному концу приложена сила 300 Н, рассчитайте прогиб металлической балки.

Решение:   Из вопроса,

E= 200 x 10 ⁹ Нм 99*50}\)

=0,08 м

---

Что следует помнить

[Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

• Прогиб Учет: Максимальный прогиб нагруженной балки должен находиться в определенных пределах, чтобы прочность и эффективность луча не должны быть затронуты.
• Прогиб в балках можно в целом классифицировать как: Консольные и свободно опертые балки Балки.
• В зависимости от места приложения силы , консольные и просто поддерживаемые балки могут быть дополнительно классифицированы.
• единиц формулы прогиба балки выражаются через силу, длину, момент инерции или модуль упругости.
• Модуль упругости Юнга балки равен отношению напряжения к деформации в пределах пропорции .
• Модуль Юнга — это свойство материала , которое не зависит от внешних факторов, таких как сила, момент и т. д.
• Три модуля упругости: модуль Юнга , модуль сдвига и объемный модуль  используются для описания упругого поведения объектов , когда они реагируют на деформирующие силы, действующие на них.
• Модуль Юнга и модуль сдвига относятся только к твердым телам.
• Объемный модуль относится к твердым телам, жидкостям и газам.

---

Вопросы предыдущего года по формуле 9 прогиба балки0117

1. Выберите правильное соотношение между параметрами эластичности. [JEE Main 2021]
2. Соотношение веса стальной и латунной проволоки при подвешивании. [NEET 2015]
3. Какой график является прямой линией. [NEET 2014]
4. Коэффициент увеличения длины стальной и медной проволоки. [NEET 2013]
5. Рассчитайте усилие, необходимое для растяжения проволоки. [NEET 2018]
6. Рассчитайте упругую потенциальную энергию в удлиненном проводе. [НЕТ 2019]
7. Рассчитайте соотношение напряжений между двумя удлиненными проводами. [KCET 2018]
8. Что такое модуль Юнга. [KCET 2017]
9. Какое вещество обладает наибольшей эластичностью? [KCET 2010]
10. Отношение гидравлического напряжения к деформации? [KEAM]
11. Определите коэффициент e=увеличения длины двух проводов из одного материала. [KEAM]
12. Определите длину шнура, зная модуль Юнга. [КЕМ]
13. Рассчитайте энергию, запасенную в проводе. [KEAM]
14. Вычислите перемещение, когда к кубу приложена сила. [JEE Main 2018]
15. Рассчитайте силу, необходимую для того, чтобы втолкнуть пробку в бутылку. [JEE Main 2016]
16. Определите модуль Юнга. [JEE Main 2019]
17. Выберите неверное утверждение. [KEAM]
18. Определите коэффициент изменения напряжения. [Основной JEE 2017]
19. Рассчитайте растягивающее напряжение в проводе. [JEE Main 2019]
20. Рассчитайте относительное уменьшение радиуса провода. [JEE Main 2013]

---

Примеры вопросов

Вопросы. Вычислите прогиб консольной балки длиной 2 м, имеющей опору только с одного конца. Модуль Юнга металла 200 × 10 ⁹ и момент инерции 50 кг·м ² . В конце прилагаемая сила составляет 300 Н. ( 4 знака )

Ответ.

Указанные параметры: E = 200 × 109 нм ^-2

I = 50 кгм ²

L = 2 M

W = 300 N

Теперь, используя формулу отклонения луча,

. D = WL ³ /3EI

D = 300 × 23/ 3 × 200 × 50

D = 2400/30000

D= 0,08 м

Отсюда величина прогиба балки 8 м или 8,0 см будет равна 0,08 см. .

Вопрос. В случае изгиба балки как зависит депрессия δ от модуля упругости Юнга Y? ( 4 балла )

Отв. Рассмотрим любую балку, но для простоты рассмотрим свободно опертую балку, подверженную точечной нагрузке в ее центре.

мы знаем, что прогиб свободно опертой балки длиной L, на которую действует точечная нагрузка в ее средней точке, определяется выражением:

D = FL ³ / 48YI

Здесь Y — модуль Юнга для материала балки, а L — момент инерции балки.

Из приведенного выше выражения можно сказать, что прогиб обратно пропорционален модулю упругости Юнга.

D ∝ 1 / Y

This deflection is the depression of the beam so that we can write:

δ ∝ 1/ Y

δ ∝ Y ^-1

Следовательно, при изгибе балки депрессия δ обратно пропорциональна модулю Юнга упругости материала балки.

Вопросы. На свободно опертую балку длиной 6 м действует равномерно распределенная нагрузка 75 кН/м по всему пролету. Определить прогиб балки при закреплении обоих концов при значении EI 5,06 × 10 10 Нмм 2 . ( 4 балла )

Отв.

Given parameters are, l = 6 m = 6000 mm

Load, W = 75 kN/m = 75 × 10 ³ N/m

= 75 mm

Значение EI = 5,06 × 10 ¹⁰ Нмм ²

Свободно опертая балка, подверженная равномерно распределенной нагрузке, прогиб определяется как

0013 δ = 5qL ⁴ /384EI

δ = 5 × 75 × (6000) 4 / 384 × 5. 06 × 10 ¹⁰

δ = 25 mm

Следовательно, величина прогиба балки составляет 25 мм.

Вопросы. В случае изгиба балки как зависит депрессия δ от модуля упругости Юнга Y? ( 4 балла )

Отв. Мы можем найти ответ на этот вопрос, рассмотрев любую балку, но для простоты рассмотрим свободно опертую балку, на которую действует точечная нагрузка в ее центре.

мы знаем, что прогиб свободно опертой балки длиной L, на которую действует точечная нагрузка в ее средней точке, определяется формулой:

D = FL ³ / 48YI

L — момент инерции балки.

Из приведенного выше выражения можно сказать, что прогиб обратно пропорционален модулю упругости Юнга.

D ∝ 1 / Y

Это отклонение представляет собой депрессию балки, так что мы можем записать:

δ ∝ 1/ Y

δ ∝ Y ^-1

Следовательно, при изгибе балки депрессия δ обратно пропорциональна молодому модулю упругости материала балки.

Вопросы. На свободно опертую балку длиной 6 м действует равномерно распределенная нагрузка 75 кН/м по всему пролету. Определить прогиб балки при закреплении обоих концов при значении EI 5,06 × 10 ¹⁰ Нмм ² . ( 4 балла )

Отв.

Приведены параметры, l = 6 м = 6000 мм

Нагрузка, W = 75 кН/м = 75 × 10 ³ Н/м

= 75 мм

Значение EI = 5,06 × 30 10 Нмм ²

Свободно опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой, прогиб определяется как1730 10

δ = 25 мм

Следовательно, значение прогиба луча составляет 25 мм.

Вопросы. Каким будет отношение прогибов свободного конца консольной балки от изолированной нагрузки на 1/3 rd и 2/3 rd пролета? ( 3 балла )

Отв.

1-е условие: для консольной балки, находящейся под нагрузкой W на расстоянии L/3 от свободного конца, прогиб определяется по формуле:

Yc ₁ = W/3EI × (2L/3) ³ + W/2EI(2L/3) ² × L/3

Yc ₁ = 28WL

EI

EI

EI

0 3 3 ^{3 3 2-е условие: для консольной балки, находящейся под нагрузкой W на расстоянии 2L/3 от свободного конца:}

Yc ₂ = W/3EI × (L/3) ³ + W/2EI(L/3)2 × 2L/3

Yc ₁ = 8WL3/162EI

Отношение (r) = Y _c1 / Y _c2 = 28/8 = 7/2

/

2 ∴ 19 Yc 1

6 2 = 7/2

Вопрос. Свободно опертая балка несет равномерно распределенную нагрузку 20 кН/м на длине 5 м. Если жесткость на изгиб 30000 кН.м 2 , каков максимальный прогиб балки? ( 3 балла )

Отв.

Приведенные параметры нагрузки W = 20 кН/м

Длина балки = 5 м

Жесткость при изгибе (EI) = 30000 кН. м ²

Максимальный прогиб в балке δmax = (5/384 )(WL4/EI)

δ _макс. = (5/384)(20 × 5 ⁴ / 30000)

δ _{макс. Свободно опертая балка длиной 5 м нагружена в центре сосредоточенной нагрузкой 1200 Н и прогибается в центре на 12 мм. Определите жесткость на изгиб (EI). (} 3 балла )

Отв.

Указанные параметры: длина L = 5 м = 5000 мм

Нагрузка W = 1200 Н

Прогиб δ = 12 мм

Свободно опертая балка с сосредоточенной нагрузкой в ​​центре, прогиб определяется по формуле ) ³ /48×12

EI = 2,6 × 10 ¹¹ Н/мм ²

Запросы. Если на свободно опертую балку с пролетом 4 м действует на обоих концах концевая пара с усилием 4 кН·м, то какова будет величина центрального прогиба? ( 3 балла )

Отв.

Данные параметры: L= 4 м

M = 4 кН-м

Когда свободно опертая балка подвергается воздействию концевых пар на обоих концах, тогда

Максимальное центральное отклонение определяется по формуле: ML ² /8EI

δ _макс.