Расчет на прогиб двутавровой балки: Расчёт металлической балки онлайн (калькулятор)

Расчет балки на прогиб

вернуться в раздел РАСЧЕТЫ КМ И КЖ

Здесь представлены формулы расчета для нахождения значений изгибающих моментов и прогибов для различных балок.

Расчет стальной балки на прогиб

Теги:
#ЛИРА-САПР
#СТК
#прогибы

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):

((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):

((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:

Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок

Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:

((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:

((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):

96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):

(96. 7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):

99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п. 2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;

Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;

Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

Прогиб балок — формула, методы, вопросы

Что такое прогиб балок?

Прогиб измеряется от исходной нейтральной поверхности балки до нейтральной поверхности деформированной балки. Конфигурация, которую принимает деформированная нейтральная поверхность, известна как упругая кривая балки.

Прогиб балок Определение

Прогиб балок – это поперечная деформация, возникающая под действием поперечной силы и изгибающего момента. Прогиб балок под действием перерезывающей силы незначителен по сравнению с прогибом балок под действием изгибающего момента. Поэтому отклонение балок из-за поперечной силы не учитывается.

Давайте теперь кратко рассмотрим наклон и отклонение балок.

• Наклон луча : Наклон луча представляет собой угол между отклоненным лучом и фактическим лучом в той же точке.
• Прогиб балки: Прогиб определяется как вертикальное смещение точки на нагруженной балке. Многие методы определяют наклон и прогиб в сечении нагруженной балки.

Максимальное отклонение происходит при нулевом уклоне. Положение максимального прогиба находится путем приравнивания уравнения наклона к нулю. Затем значение x подставляется в уравнение прогиба для расчета максимального прогиба. «Прогиб балок» является важной темой предмета «Сопротивление материалов».

Формула отклонения балок

Деформированная форма фасоли известна как упругая кривая. Ниже приведены формулы наклона и прогиба балок для некоторых стандартных случаев. Эти формулы можно использовать непосредственно для решения многих задач прогиба балок.

y — вертикальное отклонение балки. Цель балки определяется как форма, заданная формулой:

θ= dy/dx

Момент Уравнение кривизны используется для расчета отклонения балки.

1/R=M/EI

Где

• M = изгибающий момент
• R = радиус кривизны деформированной формы
• EI = жесткость балки на изгиб
• 10018 18900

Уравнение дифференциального отклонения

D ² Y/DX ² = M/EI

(A)

θ _B = ML/EI

∆ _B = ML/ML/EI

∆ = B = ML/ML/EI

40003 B = B = ML/ML/EI

40003 B = ML/ML/EI

. /2EI

(б)

θ _B = PL ² /2EI

∆ _B = PL ³ /3EI

(C)

_B = WL

3 3

/ /6006 3

3

3

3

3

7

/ /6006 3

_{. B = WL ⁴ /8EI}

Дифференциальное уравнение кривой отклонения луча

ПРОЕКТИКА ФОРМУЛА БЕМОВ ДЛЯ КОНТИЛЕВОЙ БЕМЫ:

Формуля бабочек для простого поддержанных балок:

ДеТро.0007

Методы определения прогиба балки

Существуют различные методы определения прогиба балки и конструкций в зависимости от типа нагрузки и характера балки. Некоторые важные методы определения отклонения балок:

• Метод двойного интегрирования
• Метод Маколея
• Метод площади момента
• Метод сопряженных балок

Метод двойного интегрирования

0006 Метод двойного интегрирования подходит для призматических балок с постоянным EI. Этот метод подходит, когда уравнение изгибающего момента остается постоянным по всей длине балки. Согласно методу двойной интеграции,

EID ² Y/DX ² = MX

, где

EI = Жесткость изгиба

MX = изгибающий момент в разделе

. = ∫Mx+ c ₁

Это дает уравнение наклона, где dy/dxis наклон или вращение.

Интегрируя приведенное выше уравнение,

EI.y= ∬Mx+ ∫c ₁ + c ₂

Где y — прогиб.

Метод Маколея

Метод Маколея является усовершенствованием метода двойного интегрирования. Становится трудно решать отклонения балки, которые необходимо разделить на множество секций. Поэтому этот метод используется там, где нет необходимости разделять луч. Этот метод подходит для призматических стержней, имеющих разные изгибающие моменты в разных поперечных сечениях.

Рассмотрим приведенную выше балку с двумя точечными нагрузками L ₁ и L ₂ на расстоянии «a» и «b» от левой опоры. Рассмотрим сечение x-x на расстоянии x от левой опоры. Нахождение момента относительно x-x:

Mx= R _A x- L ₁ (x-a)- L ₂ (x-b)

EId ² y/dx 7 3 A-7 A 4 = 0 L-7 ^{2 9006 ₁ (x-a)- L ₂ (x-b)}

Интегрируя приведенное выше уравнение,

EI y= R _A x ³ /6+ c ₁ x+ c ₂ -[L ₁ (x-a) ³ /6]- [L ₂ / 76 6 (x-b) 3090

Метод момента-площади

Метод момента-площади используется, когда нам нужно проанализировать балку, в которой мы заинтересованы в расчете наклона и отклонения балки в одном месте. Этот метод подходит для призматических и непризматических элементов. Этот метод основан на площади под диаграммой изгибающего момента.

Теорема 1

Изменение уклона от сечения A к сечению B B-A будет равно площади диаграммы M/EI между Θ _A и Θ _B . Теорема 2

Метод сопряженных балок

Сопряженная балка — это воображаемая балка, диаграмма нагрузки которой является диаграммой M/EI реальной балки. Метод сопряженных балок подходит как для призматических, так и для непризматических элементов; единственное требование — диаграмма M/EI не должна быть заполнена; должно быть легко определить площадь и центр тяжести диаграммы M/EI. Если диаграмма M/EI положительна, то нагрузка в сопряженной балке будет восходящей. Если диаграмма M/EI отрицательна, то нагрузка в сопряженной балке будет нисходящей.

Теорема 1

Уклон в любом сечении реальной балки становится поперечной силой в соответствующем сечении сопряженной балки. Диаграмма поперечной силы сопряженной балки представляет собой диаграмму наклона реальной балки.

Теорема 2

Прогиб на любом сечении реальной балки становится изгибающим моментом на соответствующем сечении сопряженной балки. Диаграмма изгибающего момента сопряженной балки представляет собой диаграмму прогиба реальной балки.

Метод суперпозиции: Метод суперпозиции, при котором приложенная нагрузка представлена ​​в виде ряда простых нагрузок, для которых доступны формулы прогиба. Затем вычисляется требуемый прогиб путем сложения вкладов компонентных нагрузок (принцип суперпозиции).

В вопросах используется самая прямая формула. Отсюда советуется искать формулу прогиба балки, которая прямо запрашивается из этой темы, а не пускаться в длинные выкладки.

Прогиб при общих нагрузках

1. Сосредоточенная нагрузка на свободном конце консольной балки (начало точки А):

Максимальный момент, M=−PL 7 Наклон

:θ=PL

² /2EI

Максимальное отклонение: δ=PL ³ /3EI

Уравнение отклонения (у положительное вниз): EIy = (Px ² )(3L−x)/6

2. Сосредоточенная нагрузка в любой точке пролета консольной балки

Максимальный момент: M = -WA

Наклон на конце: θ = WA ² /2EI

Максимальный отклонение:> Δ = WA ³ (3L–A -A )/6EI

Уравнение отклонения (у положителен вниз),
EIy = Px ² (3a−x)/6for0 EIy = Pa ² (3x−a)/6fora

3. Равномерно распределенная нагрузка по всей длине консольной балки

Maximum Moment: M = −wL ² /2

Slope at end: θ = wL ³ /6EI

Maximum deflection: δ = wL ⁴ /8EI

Deflection Equation (у положителен вниз),
EIy=wx ² (6L ² −4Lx+x ² )/120L

4. Треугольная нагрузка, полная на фиксированном конце и ноль на свободном конце

Максимальный момент: M=−wL ² /6

Уклон на конце: θ = WL ³ /24EI

Максимальное отклонение, Δ = WL ⁴ /30EI

Уравнение отклонения: (y положительный вниз),
EIY = WX ² (10L ^{— 3} 3 — 3 — 3 3 — 3 3 — 3 3 — 3 3 3 —
. 10L ² x+5Lx ² −x ³ )/120L

5. Момент нагрузки на свободном конце консольной балки

конец: θ=ML/EI

Максимальное отклонение: δ= мл ² / 2EI

Уравнение отклонения (Y положительный вниз),
EIY = MX ² /2

6. Концентрированная нагрузка на Midspan от простого луча

. Maximum Moment: M=PL/4

Slope at end: θ _A =θ _B = WL ² /16EI

Maximum deflection: δ=PL ³ /48EI

Уравнение отклонения (у положителен вниз),
EIy=Px{(3/4)L ² −x ² )}/12 для 0

7. Равномерно распределенная нагрузка по всему пролету простой балки

Максимальный момент: M = WL ² /8

Наклон на конце: θ _L = θ _R = WL ³ /24EI

. ⁴ /384EI

Уравнение прогиба (EIy=wx(L ³ −2Lx ² +x ³ )/24

9. Треугольная нагрузка с нулевой на одной опоре и полной на другой опоре простой балки

Максимальный момент: M = w _o L ^{4 / 900 3}

Наклон в конце,

θ _L = 7WL ³ /360EI

θ _R = 8WL ³ /360EI 9004

63.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.6007

7. 4 /384EI при x = 0,519L

Уравнение прогиба (у положителен вниз),
EIy = wx(7L ⁴ −10L ² x+3x)/360L

10. Треугольная нагрузка с нулевой нагрузкой на каждой опоре и полной в середине пролета простой балки

Максимум

900 Момент 0:000 M = WL ² /12

Наклон на конце, θ _L = θ _R = 5WL ³ /192EI

Максимальный отклонение: Δ = WL ^{4 9004 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12064 /12067}

.

Уравнение отклонения (у положителен вниз),
EIy=w _o x(25L ⁴ −40L ² x ² +16x ⁴ )/960L for 0

Deflection of Beams Questions

Задача 1: Каковы уклон и направление консольной балки на свободном конце нагрузки, действующей на свободный конец?

Решение-

Дифференциальное уравнение для прогиба

M= -Px

EId ² Y/DX ² = -PX

∫eid ² Y/DX ² = ∫-PX

EIDY/DX = -PX ² /2+ C ₁

^{. Связанные условия. x=L, dy/dx = 0,}

c ₁ = PL ² /2

EIdy/dx= -Px ² /2+ PL ² /2

9000 Интегрируя это, мы получаем ,

EIy= -Px ³ /6+ PL ² x/2+ c ₂

Граничное условие x=L, y=0

c _{2 PL} = -0063 3 /3

EIy= -Px ³ /6+ PL ² x/2- PL ³ /3

Наклон и прогиб на свободном конце

x0 3 PLdy/d Наклон /2EI

Прогиб y= PL ³ /3EI

Задача 2: Свободно опертая балка с пролетом 6 м нагружена, как показано на рисунке. I = 78 x 10 ⁶ мм ⁴ E = 2,1 x 10 ⁵ Н/мм ² . Найдите центральные прогибы.

Solution-

We know that

y _c = WL ³ /48EI= 60 × 10 ³ ×6000 ³ /(48 ×2.1 × 10 ⁵ ×78 × 10 ⁶ )= 16,48 мм

Задача 3: Свободно опертая балка с пролетом 5 м, несущая нагрузку 10 Н/мм ² . Дано E= 10 ⁴ Н/мм2. Максимально допустимое напряжение изгиба составляет 8 Н/мм ^2, , а максимальный прогиб балки составляет 1 см. Определяем ширину и глубину балки.

Решение-

(σ _B ) _MAX = M _MAX /Z = 8

10 × 5000 ² × 6 /(8 × BD ² ) = 234300 ММ.

Maximum Deflection= 5WL ⁴ /384EI

5WL ⁴ /384EI=10mm

5WL ⁴ /384 ×10 ⁴ ×B × D ³ =10mm

BD ³ =9765625000 мм ⁴

D= BD ³ /BD ² = 9765625000/23437500= 416,67 мм

BD ² = 23437500

B = 134,99 мм

Ежедневные живые сеансы GATE и ESE, бесплатные живые занятия, учебные заметки, викторины, бесплатные PDF-файлы и многое другое. Присоединяйтесь к нашей группе Telegram Присоединяйтесь.

Калькулятор отклонения балки

Выберите тип балки, тип нагрузки и введите необходимые объекты. Инструмент легко сообщит вам, насколько сильно прогибается балка.

РЕКЛАМА

Тип пучки пучка тип:

. Нагрузка Равномерно изменяющаяся нагрузка (вариант 1) Равномерно изменяющаяся нагрузка (вариант 2) Момент нагрузки на конце

Длина пролета, л:

смммминфтд

Равномерная нагрузка, w:

Н/мкН/мибф/inibf/ftdyn/cmkip/ftkip/in

Моментная нагрузка, М:

6

7 Nffradib.cm В

точечная нагрузка, P:

NKNMNGNTNIBFKIP

Модуль эластичности, E:

8.

8.

08.

8.

8.

8.

08.

08.

8.

8.

8.

8.

8.

8.

8.

8.

8.

8.

8.

.

8.

.

8.

8.

8.

8.

8.

. Расстояние :

cmmmminftyd

Прогиб В:

РЕКЛАМА

РЕКЛАМА

Содержание

Получите виджет!

Добавьте этот калькулятор на свой сайт и дайте пользователям возможность выполнять простые расчеты.

Получить код

Обратная связь

Насколько легко было пользоваться нашим калькулятором? Сталкивались ли вы с какой-либо проблемой, сообщите нам!

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Воспользуйтесь нашим калькулятором прогиба балки, чтобы найти максимальный прогиб балки (одноопорной или консольной) после того, как на нее воздействует определенная нагрузка.